제 12 장 다중적분
12.1 이중적분
12.2 이중적분의 응용
12.3 극좌표계의 이중적분
12.4 삼중적분과 응용
12.5 원기둥좌표와 구면좌표에서의 삼중적분
12.1 이중적분
를 둘러싸는 곡선의 아래쪽의 방정식을
위쪽의 방정식을
라 하면
또 를 둘러싸는 곡선의 왼쪽의 방정식을
오른쪽의 방정식을
라 하면
가 된다. 영역 가 직사각형인 경우는 적분순서에 상관 없지만, 직사각형이 아닌 경우에는 적분순서에
유의해야 한다.
[예제 1]
[예제 2]
[예제 3] 일 때
[예제 4] 이 포물선
와 직선
로 둘러싸인 영역일 때 먼저 적분 영역
을 구해 보면
이므로
연습문제 12.1
※ 다음 반복적분을 구하여라.
1. 2.
3.
※ 다음 주어진 영역에서의 이중적분을 구하여라.
4.
5.
6.
7. 는
에 둘러싸인 영역;
12.2 이중적분의 응용
이중적분
는 영역 에서
은
아래의 입체의 부피를 말한다. 그러므로
일 경우
는 영역 에서 높이가 1인 입체의 부피를 의미한다. 따라서
의 넓이와 같다. 이를 이용하여 영역의 넓이를 구할 수
있다.
[예제 1] 두 곡선 과 직선
에 의해서 둘러싸인 넓이를 구하라.
[풀이] 곡선 와
의 교점이
이므로
제 7장에서는 회전체의 부피를 계산하는 데 정적분을 이용했다. 이중적분을 이용하여 보다 일반적인 형태의 입체의 부피를 구할 수
있다.
우선 평면의 영역 에서 함수
가 양의 값을 갖는다고 하자. 주어진 한 입체의 밑면이 영역
와 일치하고, 이 입체의 윗면이
의 그래프와 같은 경우 이 입체를 함수아래의 입체(solid
below )라고 부른다. 만일 함수
가 영역
에서 연속이고
양의 함수이면 이중적분
의 값은 함수 아래 영역의 부피와 같다.
[예제 2] 에 둘러싸인 평면 위와 포물선
아래에 있는 부피를 구하여라.
[풀이]
연습문제 12.2
※ 문제 1~5에서 주어진 곡면들에 둘러싸인 입체의 부피를 구하여라.
1.
2.
3.
4.
5.
12.3 극좌표계의 이중적분
만일 이면 극형식의 이중적분은 아래와 같이 계산된다.
이와 같은 영역 을 제 1극영역(polar region)이라 한다.
만일 이면
이다. 이렇게 주어진 을 제 2극영역이라 한다.
[예제 1] 포물면 과
평면으로 둘러싸인 입체의 부피를 극좌표를 이용하여 구하라.
[풀이] 곡면의 방정식은 이 되고 이 곡면과
평면의 교선은
가 된다. 따라서
[예제 2] 영역 일 때
를 계산하여라.
[풀이]
[예제 3] 다음에 주어진 이중적분을 극좌표로 변환하여 구하여라.
[풀이] 위에서 주어진 이중적분의 영역은
이 되며 로 치환할 경우
가 된다. 그리고 이므로
연습문제 12.3
※ 다음에 주어진 곡면과 영역을 각각 상.하면으로 갖는 직원체의 부피를 구하라.
1. 는
인 제 1 상한의 4분원
2. 는
의 제 1상한의 4분원
※ 극좌표를 써서 다음 입체의 부피를 이중적분으로 구하라.
3. 구면 와 원통
로 둘러싸인 입체
4. 포물면 , 평면
으로 둘러싸인 입체