제 12 장  다중적분

 

 

                                                                           12.1 이중적분

                                                                           12.2 이중적분의 응용

                                                                           12.3 극좌표계의 이중적분

                                                                           12.4 삼중적분과 응용

                                                                           12.5 원기둥좌표와 구면좌표에서의 삼중적분

 

 

 

12.1 이중적분

 

를 둘러싸는 곡선의 아래쪽의 방정식을 위쪽의 방정식을 라 하면

                                       

또 를 둘러싸는 곡선의 왼쪽의 방정식을   오른쪽의 방정식을   라 하면

                                       

가 된다. 영역 가 직사각형인 경우는 적분순서에 상관 없지만, 직사각형이 아닌 경우에는 적분순서에 유의해야 한다.

 

[예제 1]  

                                       

                                                               

                                                               

                                                               

  

[예제 2]

                                        

                                                               

                                                               

           

[예제 3] 일 때

                                       

                                                                

                                                                

     

[예제 4] 이 포물선 와 직선 로 둘러싸인 영역일 때 먼저 적분 영역 을 구해 보면

                                          

이므로

                                        

      

                                                  

      

 

                                                               연습문제 12.1

 

※ 다음 반복적분을 구하여라.

1.                                                                  2.

3.

 

※ 다음 주어진 영역에서의 이중적분을 구하여라.

4.

                                                          

5.

                                                         

6.

                                                         

7. 는 에 둘러싸인 영역;  

                                                        

                                                         

 

 

12.2 이중적분의 응용

 

이중적분

                                                         

는 영역 에서 은 아래의 입체의 부피를 말한다. 그러므로 일 경우

                                                       

는 영역 에서 높이가 1인 입체의 부피를 의미한다. 따라서 의 넓이와 같다. 이를 이용하여 영역의 넓이를 구할 수

있다.

 

[예제 1] 두 곡선 과 직선 에 의해서 둘러싸인 넓이를 구하라.

[풀이] 곡선 와 의 교점이 이므로

                                      

 

제 7장에서는 회전체의 부피를 계산하는 데 정적분을 이용했다. 이중적분을 이용하여 보다 일반적인 형태의 입체의 부피를 구할 수

있다.

우선 평면의 영역 에서 함수 가 양의 값을 갖는다고 하자. 주어진 한 입체의 밑면이 영역 와 일치하고, 이 입체의 윗면이

의 그래프와 같은 경우 이 입체를 함수아래의 입체(solid below )라고 부른다. 만일 함수 가 영역 에서 연속이고

양의 함수이면 이중적분

                                                         

의 값은 함수   아래 영역의 부피와 같다.

 

[예제 2]   에 둘러싸인 평면 위와 포물선 아래에 있는 부피를 구하여라.

[풀이]  

                                    

                                      

   

   

                                                           연습문제 12.2

 

※ 문제 1~5에서 주어진 곡면들에 둘러싸인 입체의 부피를 구하여라.

1.

2.

3.

4.

5.

 

 

 

12.3 극좌표계의 이중적분

 

만일 이면 극형식의 이중적분은 아래와 같이 계산된다.  

                                           

이와 같은 영역 을 제 1극영역(polar region)이라 한다.

만일 이면

                                          

이다. 이렇게 주어진 을 제 2극영역이라 한다.

 

[예제 1] 포물면 과   평면으로 둘러싸인 입체의 부피를 극좌표를 이용하여 구하라.

[풀이] 곡면의 방정식은 이 되고 이 곡면과   평면의 교선은 가 된다. 따라서

                                          

 

[예제 2] 영역 일 때

                                                          

를 계산하여라.

[풀이]                               

                                              

                                                              

                                                              

                                                              

                                                              

     

[예제 3] 다음에 주어진 이중적분을 극좌표로 변환하여 구하여라.

                                   

[풀이]  위에서 주어진 이중적분의 영역은

                                    

이 되며   로 치환할 경우

                                    

가 된다. 그리고   이므로

                                    

                                                                                       

 

 

                                                                연습문제 12.3

 

※ 다음에 주어진 곡면과 영역을 각각 상.하면으로 갖는 직원체의 부피를 구하라.

1. 는 인 제 1 상한의 4분원

2. 는 의 제 1상한의 4분원

 

※ 극좌표를 써서 다음 입체의 부피를 이중적분으로 구하라.

3. 구면 와 원통 로 둘러싸인 입체

4. 포물면 ,  평면   으로 둘러싸인 입체