11.7 최대, 최소

 

함수 에서, 점 에 충분히 가까운 임의의 점 에 대하여

                                                   

가 성립할 때 함수 는 점 에서 극대가 된다고 하며 를 함수의 극대값이라고 한다. 또

                                                  

가 성립할 때 함수 는 점 에서 극소가 된다고 하며 를 함수의 극소값이라고 한다. 극대값과 극소값을 합쳐서

극값이라고 한다.

또는 이러한 편도함수들 중 하나가 존재하지 않는 그러한 점 를 의 임계점이라 부른다.   가   에서

극값을 가지면,  는   의 임계점이라는 것을 의미한다. 일변수 함수에서와 같이 모든임계점에서 극값을 갖는 것은 아니다.

임계점에서 함수는 극대, 극소 또는 아무것도 가지지 않을 수 도 있다.

 

[예제 1]   의 극점을 찾아라.

[풀이]   이므로

따라서 임계점은 점 이다.  점 에서 극값을 갖는지 살펴보기 위해 를   와 에 관해 완전제곱 꼴로 고치면

                                             

인데, 여기서 이고 이면 임을 알 수 있다. 그러므로 는 점 에서 최소값 를 가진다.

 

[예제 2] 의 극점을 찾아라.

[풀이] 이므로  

그러나 위의 식을 만족하는   와   의 값은 없다. 따라서   는 극점을 갖지 않는다.

 

[예제 3] 의 극점을 찾아라.

[풀이] 이므로 유일한 임계점은 이다.   축 위의 모든 점은   으로 표현된다.

따라서   이다. 한편 축 위의 모든 점은 으로 표현된다. 그래서   이다.

따라서 중심 을 갖는 원판위의 점들에 대해서, 함수 가 양의 값을 취하기도 하고, 음의 값을 취하기도 한다.

따라서 은   에 대한 극값이 될 수 없고, 그러므로 는 극값을 가지지 않는다.

 

예제는 임계점에서 함수가 반드시 최대 또는 최소값을 갖지 않아도 된다는 사실을 설명한다.   원점 근방에서 그래프는

말안장모양을 하며, 따라서   은   의 말안장모양을 하며, 따라서 은 의 말안장점(saddle point)이라고 한다.

앞의 예제들에서 본 것 같이 이변수 함수의 임계점에서 극값을 갖는가를 판정하는 방법이 필요하다.

다음의 판정법은 일변수함수에 대한 이계도함수판정법과 유사하다.

 

[정리 1] 함수 가 점 의 근방에서 가 연속이고   일 때

                                                

라 하면 는 점 에서

1. 이면 극대값을 갖는다.

2. 이면 극소값을 갖는다.

3. 이면 는 의 안장점(saddle point)이다.

4. 이면 점 에서의 극대, 극소의 여부를 결정할 수 없다.

 

[예제 4] 의 극점을 찾아라.

[풀이] 먼저 임계점을 찾는다. 에서 의 임계점 을 얻는다.   의 2계 도함수를 모두 구하면

이고   이므로   이 되어 점 (4,1) 은   의 안장점이다.

따라서 의 극점을 갖지 않는다.

 

[예제 5] 의 극점을 찾아라.

[풀이]                                 

에서

                                            : 정수)

를 얻는다.  따라서   는 무수히 많은 임계점을 가진다.

                                           

이므로   이다. 따라서

                                          

                                                                   

그러므로,   과 이 모두 짝수이거나 혹은 정수 에 대해 의 임계점이 인 꼴일 때에는 가 되고

따라서 는 극대값 2를 갖는다. 만약   과 이 모두 홀수이거나 의 임계점이 인 꼴이면   가

되므로 는 극소값 -2를 갖는다. 만약 의 값이 홀수이면   이 되고   는 안장점을 갖는다.

 

[예제 6] 뚜껑이 없는 직육면체의 상자를 만드는데 그 부피가 이 되도록 하려할 때 겉넓이가 최소가 되게 하려면 가로, 세로,

높이를 어떻게 정해야 할까?

[풀이] 만들고자 하는 상자의 가로를  , 세로를  , 높이를   라 놓으면 겉넓이 는 이다.   의 값이 최소가

되도록 하는 의 값을 구한다. 주어진 조건에서 이므로

                                              

이고  

                                              

으로 놓으면

                                                        

이며, 두 식에서 를 소거하면 .

그런데   이므로   이다. 또   를 얻는다. 2계 도함수 판정법에 의하면 는 점 에서 극소값을 가지며 이 값은 결국

의 최소값이 된다. 따라서 구하는 값은 가로 4, 세로 4, 높이 2m이다.

 

 

                                                              연습문제 11.7

 

※ 문제 1~6에서 주어진 각 함수의 극값을 구하여라.

1.                                                     2.

3.                                             4.

5.                                                    6.

 

7. 뚜껑이 없는 직육면체의 상자가 있다. 옆넓이와 밑넓이의 합이 일 때 최대의 부피는 얼마인가?

 

8. 원점에서 가장 가까이 있는 평면  위의 점을 구하여라.

 

9. 점 에서 평면 까지의 최단 거리를 구하여라.

 

10. 원점에서 가장 가까이 있는 곡면 위의 점을 구하여라.

 

11. 반지름   인 원 위의 세꼭지점이 있는 삼각형 세 변의 합을 최대로 하는 삼각형은 어떤 꼴인가?

또 그 때의 삼각형의 세 변의 길이의 합을 구하여라.

 

12. 표면적의 면적이   인 최대체적을 갖는 직육면체의 치수를 구하여라.

 

13. 합이 100 이면서 곱이 최대인 세 개의 양수를 구하여라.