11.4 전미분과 응용

 

이변수 함수 가 주어졌다고 하자. 변수 가 어떤 값 로부터   로 변수 가 어떤 값 로부터로   로 변할 때

주어진 함수의 값은

                                             

만큼 변한다. 이 양을 주어진 함수의 증분(increment)이라 한다.

 

[정리 1] 함수 가 주어졌을 때, 만일 세함수

                                            

가 모두 점 의 근방에서 연속이면

                                           

여기서 과 는 다음 성질을 가진 값이다.

                                           

특히 와  가 충분히 작을 때의 의 근사값으로

                                               

 를 취할 수 있다. 이를 의 전미분(total differential)이라 하고, 기호로   로 나타낸다. 즉,

                                             

 

[예제 1] 전미분을 이용하여,   의 점 이  로 움직일 때 의 변화의 근사값을 구하여라.

[풀이]                               

                                         

일 때

                                         

정확한 변화값은   이다.

 

[예제 2] 전미분을 이용하여

                                                                

의 근사값을 구하여라.

[풀이] 함수 이라 하면,   임을 쉽게 구할 수 있다.

그래서 그리고   로 잡는다.

그러면

                                          ,  

이므로

                                        

                                                                  

                                                                  

                        

[예제 3] 반경 이 씩 증가하고 높이 가   증가하는 원뿔의 변화량을 계산하여라.

[풀이] 부피는 에서 이고   이다. 증가되는 부피는

                                                      

                                                          

                                                          

즉 부피는 약 의 증가를 보였다.

 

 

                                                             연습문제 11.4

 

※ 문제 1~4에서 주어진 함수의 전미분을 구하여라.

1.                                                          2.

3.                                                     4.

 

※ 문제 5~6에서 주어진 점에서의 를 얻고 전미분을 사용하여 함수 값을 계산하여라.

5.

6.

 

※ 문제 7~8에서 전미분을 이용하여 다음의 근사값을 구하여라.

7.

8.

 

9. 원기둥에서 반경이 %, 높이 5% 씩 증가할 때 입체의 부피 변화량은?

 

10. 타원의 길이가 각 축에서 6과 8이다. 각 축을 0.1씩 늘린다면 그 타원에서 넓이의 변화량은 근사적으로 얼마인가. [ 와 가

반축(semiaxes)일 때 넓이는 ]

 

 

11.5 미분가능성과 연쇄법칙

 

다변수 함수의 미분가능성(differentiability)과 연쇄법칙(chain rule)을 공부하기로 한다.

 

[정리 1] 미분가능성(differentiability)

이변수 함수 가 점 근방 에서 편도함수들을 가지고 가 에서 연속이면 내의 모든 점 에 대하여

                               

이다. 여기서 과   는

                               

을 만족하는 의 함수이다.

 

[정의 1] 미분가능성(differentiability)

점 의 근방 내의 모든 점 에 대해서

                             

                                           

를 만족하는   와 가 존재하면 함수 는 에서 미분가능이라 한다.

 

[정리 2] 이변수 함수 와 그 편도함수 가 연속이면,   는 그 연속인 범위 안에서 미분 가능하다.

 

[정리 3] 이변수 함수 가 에서 미분 가능하면   에서 연속이다.

 

[정의 2] 연쇄법칙

는   와   의 이변수 함수로서 미분가능하고   와 는 모두 와 의 이변수 함수로서 미분 가능하다고 하면   와 에 관한 의

편도함수가 존재하여 다음의 조건을 만족한다.

                                       

                                       

 

[예제 2] 일 때   와   를 구하여라.

[풀이] 연쇄법칙을 이용하면

                                         

                                         

        

[예제 3] 일 때

                                               

임을 보여라.

[풀이] 라 두면 이고 연쇄법칙을 이용하면

                                           

                                           

이 되므로    이다.

 

[예제 4] 어떤 가스의 압력이 , 체적이 , 온도를 라고 하고 를 상수라 할 때 식 가 성립한다고 한다. 1제곱 인치에

작용하는 압력이 시간(초)당 0.05 파운드씩 증가하며 1세제곱 인치당 부피의 감소율이 시간(초)당 0.25 세제곱 인치라고 한다.

파운드,   세제곱 인치일 때 시간당 온도의 변화율은 얼마인가?

[풀이] 준식으로부터   를 얻는다. 따라서

                                          

                                          

이므로

                                         

따라서 온도는 시간(초)당 씩 증가한다.

 

 

                                                                   연습문제 11.5

 

※ 문제 1~4에서 주어진 함수에서 연쇄법칙을 이용하여 를 구하여라.

1.                                                  2.

3.                                        4.

 

※ 문제 5~9에서 주어진 함수에서 와 를 구하여라.

5.

6.

7.

8.

9.

 

※ 문제 10~12에서 연쇄법칙을 써서 다음을 구하여라.

10.

11.

12.

 

※ 문제 13~16에서 를 구하여라.

13.                                                          14.

15.                                                      16.

 

17. 삼각형의 밑변이 시간당 2cm씩 증가하고 높이는 시간당 0.5 cm씩 감소한다고 한다. 밑변이 20cm이고 높이가 12cm일 때

삼각형의 넓이는 시간당 얼마씩 변화하는가?

 

18. 어떤 전기회로에서 배터리가 방전됨에 따라서, 전압 V 가 서서히 감소하고, 저항 R 는 저항기가 뜨거워짐에 따라서 서서히

증가한다고 한다. 옴의 법칙  V=IR 를 사용해서 R=400, I=0.08, dV/dt=-0.01V/s, dR/dt=0.03/s 일 때 전류 I의 변화율을 구하여라.

 

19. 직원뿔의 높이가 시간당 25cm 씩 증가하고 밑변의 반지름은 시간당 50cm씩 감소한다고 한다. 어느 시점에서 밑변의 반지름과

높이가 모두  1m 이었다고 한다. 이 시점에서의 시간당 부피의 변화율을 구하여라.

 

20. 일 때

                                        

임을 보여라.

 

21. 일 때

                                          

임을 보여라.

 

 

 

11.6 방향미분계수와 경사도

 

를 의 그래디언트(gradient)라 하며

                                             

여기에서 기호 를 델(del)이라 읽고 다음과 같이 표시한다.

                                              

이 때

                                              

이고, 점 에서 의 값은

                                             

이다.

 

[예제 1]   일 때 이므로   의 그래디언트는

                                            

따라서

                                            

 

 

[정의 1] 방향도함수(directional derivative)

를 이변수 함수라 하고 를 단위벡터라하자.   의 방향의 방향도함수(directional derivative) 는 극한이 존재할 때 다음과 같이

정의한다.

                                            

 

[정리 1]  를 이변수 함수라 하고   를 단위벡터라 한다.    방향의   의 방향도함수는 다음과 같다.

                                           

 

[예제 2]   이고   일 때 점 에서의 의 방향도함수를 구하여라.

[풀이] 주어진   는 단위벡터이므로   의 그래디언트를 구하면

                                        

따라서 방향도함수는

                                        

그러므로

                                         

 

[정리 2]  이변수 함수 가 미분 가능하다고 하자

1) 이면 모든 에 대하여도 이다.

2) 의 최대증가의 방향은  로 주어진다.

3) 의 최소증가의 방향은   로 주어진다.

 

[예제 3] 점(1,-2)에서 의 최대, 최소 변화율을 각각 구하여라.

[풀이]                       

                                 

따라서 최대변화율은   이고 최소 변화율은 이다.

 

[예제 4] 어떤 금속판 표면의 온도는 등고선 으로 분포되어 있다. 점 에서 온도가 가장 급격히 증가

하는 방향과 비율을 구하여라.

[풀이]                             

최대증가의 방향은   이므로 비율은

                                         

이다.

 

    

                                                                연습문제 11.6

 

※ 문제 1~4에서 주어진 점에서 각 함수의  방향으로의 방향도함수를 구하여라.

1.

2.

3.

4.

 

※ 문제 5~6에서 다음 함수들의 주어진 점과 각 에 의하여 주어진 방향에서 방향도함수를 구하여라.

5.

6.  

 

※ 문제 7~10에서 다음 함수들의 주어진 각 점에서 주어진 벡터   방향의 방향도함수를 구하여라.

7.

8.

9.

10.

 

※ 문제 11~12에서 다음 함수들의 주어진 각 점에서 의 값의 최대변화가 일어나는 방향벡터와   의 최대변화율을 구하여라.

11.

12. 

13.철판 위의 한 점 에서의 온도가   이라 할 때 점 에서 방향과 최대 온도 방향의 온도 변화율을

각각 구하여라.