제 11 장  편도함수

 

                                                                         11.1 이 변수 함수

                                                                         11.2 극한과 연속

                                                                         11.3 편도함수

                                                                         11.4 미분가능성과 연쇄법칙

                                                                         11.5 전미분

                                                                         11.6 접평면과 법선

                                                                         11.7 최대, 최소

 

 

 

 

11.1 다변수함수

 

[정의 1] 이변수 함수  

를 실수의 쌍 의 집합이라 하자. 의 각 원소 에 실수 를 하나씩 대응시키는 규칙 를 이변수 함수(function of

two variables)라고 한다. 이 때 를 정의역(domain)이라 하며  를   의 에 의한 상(image)이라 한다. 그리고 를

로 나타내기도 한다.   의 치역은 각 에 대한 값 들의 집합이다. 또 점 들의 집합을   의 그래프

(graph)라 한다.

 

일변수 함수와 같이 이변수 함수도 식으로 표시될 수 있으며 정의역을 분명하게 언급하지 않는 경우도 있다. 이런 경우에는 주어진

함수식을 성립하도록 하는 점 전체의 집합을 정의역으로 간주한다. 일변수 함수의 그래프가 평면 위의 곡선이듯이 이변수

함수의 그래프는 공간 속의 곡면(surface)임을 알 수 있다.

 

[예제 1] 함수 에서 의 값을 각각 구하고, 또 의 정의역과 치역을 찾아보아라.

[풀이] 이다.  

은   와 의 모든 값에 대하여 값을 가지므로 의 정의역은 평면 전체이다.

의 값은 이상이므로   의 치역은 이상의 실수 전체이다.

 

[예제 2] 다음 함수의 정의역과 치역을 구하여라.

                                             

[풀이]   로부터   이다.  따라서 정의역은

                                              

이고 또   이므로 의 치역은 이상의 실수 전체이다.

 

[정의 2] 다변수 함수  

을 양의 정수라 하고 를 개의 순서쌍 들의 집합이라 하자.   의 각 원소 에 실수 를

하나씩 대응시키는 규칙 를 변수 함수(function of  variables)라고 한다. 이 때 를 정의역이라 하며 함수값 들의

집합을 의 치역이라 한다.

 

                                                                      연습문제 11.1

 

※ 문제 1~6에서 각 함수의 정의역을 정하여라.

1.                                                      2.

3.                                                   4.

5.                                                         6.

 

 

11.2 극한과 연속

 

일변수 함수 에서 라는 뜻은 변수 가 의 왼쪽이나 오른쪽에서 에 가까워진다는 뜻이다.

그러나 이변수 함수의 경우 평면 위의 점 가 점 에 가까워지는 경로는 무수히 많다. 그래서 라는 뜻은

에서 에 이르는 거리가 그 접근하는 길에 상관없이 에 가까워지는 것을 말한다. 또한 일변수 함수의 경우 가 정의되지

않아도 함수의 극한을 정의할 수 있다. 먼저 평면 위의 한 점 를 중심으로 하고 반지름 인 원 내부 점들의 집합을 로

표시하기로 한다. 즉

                                                    

이때 를 점 의 근방(neighborhood)이라 한다.

 

[정의 1] 이변수 함수의 극한  

가 점 의 어떤 근방 에서 정의된 이변수 함수라 하자. 임의로 주어진 에 대해서

                                                

이 유한 확정값 에 대하여 반드시 성립하면

                                               

이라 쓰고   가   로 수렴할 때 함수 의 극한(limit)은   이라고 한다.

 

주의 : 가   로 가까워 지는 경로에 관계없이 가 같은 값으로 가까워 질 때 극한은 존재한다. 이것은 우리가 일변수

함수에서 우극한과 좌극한이 같을 때 극한이 존재하는 것과 같은 이치이다.

 

[예제 1] 함수 가   에서 극한 2를 가짐을    방법으로 증명하여라.

[풀이] 임의의 에 대하여

                                               

일 때 가 형성하게 되는 을 찾아내면 된다.

그런데

                                              

이므로

                                              

일 때

                                              

이 성립하게 된다.

 

 

                                                          연습문제 11.2

 

1. 함수

                                               

에 대하여,

   (a) 가 직선 에 따라서 일 때의

                                                  

   를 구하여라.

   (b) 가 직선   에 따라서 일 때의

                                                  

   를 구하여라.

 

2.

                                             

일 때 직선 를 따라서 일 때

                                                   

는 존재하는가?

 

 

11.3 편도함수

 

일변수 함수의 도함수를 구하기 위하여 적용하던 몇 가지 원리들을 이변수 함수에, 나아가서 변수 함수에 적용함으로써 편도함수의

개념을 알게 된다.

 

[정의 1] 편도함수(partial derivative)

를 와 의 이변수 함수라 하자. 이 때 의 에 관한 편도함수(partial derivative) 와 의 에 관한 편도함수를

각각 극한값이 존재할 경우에 다음과 같이 정의한다.

                                       

                                       

 

[예제 1] 일 때 편도함수 정의를 이용하여 를 구하여라.

[풀이]                            

                                      

                                                

                                                

   

편도함수의 정의에서 알 수 있듯이 를 상수로 생각하고   라 놓으면

                                       

                                              

                                              

임을 알 수 있다. 즉   를 구할 때에는 를 상수로 간주하고 에 관해서 미분하면 된다. 이 방법은 를 계산할 때에도

같다.

함수가 로 주어졌으면 편도함수 대신에   로   대신에 로 표시하기도 한다. 즉

                                               

                                               

 

점 에서의 의 함수값을 의 에 관한 편미분계수(partral derivative)라 하고 다음과 같이 표시하기로 한다.

                                               

 

[예제 2] 이변수 함수 의 편도함수들과 점 에서의 편미분계수들을 구하여라.

[풀이] 먼저 를 상수로 간주하고 를 에 관하여 미분하면

                                               

이고   이다. 또 를 상수로 보고 에 관하여 미분하면

                                               

이고   이다.

 

다음 식이 성립함은 쉽게 알 수 있다.

                                                      

                                                

                                                

 

[예제 3]

                                                        

 의 를 구하여라.

[풀이] 는 이 이 아닌 점, 즉 을 제외한 모든 점에서 정의되고 위 공식에 의하여

                                                 

                                                           

                                                 

                                                           

        

이변수 함수 의 편도함수 와 는 이변수함수이고 이 함수들이 다시 와 에 관해서 편미분가능하다면 다음과 같은 의

제 2계편도함수(second partial derivative)들을 얻을 수 있다. 같은 방법으로 고계도함수를 정의할 수 있다.

                                                

                                                

 

[예제 4] 의 제2계편도함수를 구하여라.

[풀이] 우선 제1계편도함수들을 구하면

                                               

이므로 이것들을 다시 편미분하면

                                              

                                              

          

 

[정리 1] Schwarz 정리

이변수 함수 가 에서 연속인 편도함수 를 가질 때 이 영역에서

                                             

이다.

  

 

                                                                     연습문제 11.3

 

※ 문제 1~4에서 주어진 각 함수에서 1계 및 2계 편도함수를 모두 구하여라.

1.                                        2.

3.                                                     4.

 

5. 전류의 흐름에서 를 시간, 를 세기, 을 저항이라 할 때 발생하는 열 는 다음과 같다고 하자.

.

이때 시간에 대한 열량의 변화율을 구하여라.(단위는 칼로리임)

 

6. 다음의 각 함수가 을 만족함을 보여라.

   (1)

   (2)

 

7. 원기둥의 부피 는 ( 은 반지름, 는 높이)로 주어진다. 다음 각 물음에 답하여라.

   (1) 높이가 일정할 때 반지름 에 관한 부피의 변화율을 구하여라.

   (2) 반지름이 일정할 때 높이 에 관한 부피의 변화율을 구하여라.

   (3) 이고 일 때 높이에 관한 부피의 변화율을 구하여라.

 

8. 가 다음의 파동방정식(wave equation)을 만족함을 보여라.