10.4 벡터함수와 곡률

 

지금까지 공부한 함수는 실수를 값으로 갖는 함수였다. 이제 공간에서 곡선이나 질점의 운동을 설명하는 데 필요한 값이 벡터인

함수를 공부하기로 하자. 일반적으로, 함수는 정의역이 각 원소에 치역의 한 원소를 대응시키는 규칙에 따라 정의되었다.

벡터를 값으로 갖는 함수 또는 벡터함수(vector-valued function)는 단순히 그 정의역이 실수의 집합이고, 그 치역이 벡터의 집합인

함수이다. 우리가 관심을 가지는 벡터함수 는 그 값이 삼차원 벡터인 것이다. 이것은 의 정의역에 있는 모든 실수 에 대하여

가 존재한다는 것을 의미하며, 가 벡터함수의 성분들이라면 이것을

                                                             

로 쓴다. 벡터함수의 대부분의 응용에서 변수 는 시간을 나타내기 때문에, 독립변수를 표시하는 데 이것을 사용한다.

 

[정의 1]  가 벡터함수이고    가 실수값을 갖는 함수 일 때, 벡터함수

                                            

는 각각 다음과 같이 정의된다.

                                  

                                   

                                   

 

벡터함수의 극한은 다음과 같이 그 성분함수들의 극한을 택함으로써 정의된다.

 

[정의 2] 일 때, 각 성분함수의 극한이 존재하면

                                   

이다.

 

[예제 1] 일 때, 를 구하여라.

[풀이]                          

        

[정의 3] 벡터함수 는

                                     

일 때, 에서 연속이라고 한다. 즉  가 에서 연속일 필요충분조건은 그 성분함수 가 에서 연속인 것을 알 수 있다.

 

지금부터는 벡터함수의 미분과 적분에 대해서 공부하기로 하자.

 

[정의 4]  벡터함수 의 정의역 내에 속하는 점 에 대하여, 극한값

                                                 

이 존재하면 벡터함수 는 에서 미분 가능하다고 하고, 이 극한값을 에서의 벡터함수 의 미분계수(differential

coefficient)라 하며 로 나타낸다.

  

[정리 1] 벡터함수가 에서 미분가능하기 위한 필요충분조건은 함수 모두가 에서 미분

가능한 것이다. 이때

                                          

이다.

 

[정의 5] 벡터함수 가 에서 미분가능할 때

                                            

를  의 도함수라고 한다. 마찬가지로  의 2계도함수  와 계도함수 를 정의할 수 있다.

 

벡터함수의 도함수의 경우 미분법에서 다룬 도함수에 관한 법칙이 거의 대부분 성립한다.

 

[정리 2]    를 미분가능한 벡터함수,   를 미분가능한 실수함수라 하면,

                                            

                                           

                                           

                                           

                                           

 

[예제 3] (상수)이면, 는 모든 에 대하여 와 직교임을 보여라.

[풀이]                                 

 이고, 위의 미분공식에 의하여

                                          

따라서    이고, 이것은 가 에 직교임을 말해 준다.

 

벡터함수의 미분에 관한 개념의 중요한 응용은 움직이는 물체의 속도, 가속도등을 구하는 것이다. 즉

                                            

에서 를 각각 시간 의 함수로서 운동하는 물체의 각  방향에서의 위치를 나타낸다고 하고, 또 이 함수가 각각 2계도함수를

갖는다고 하면

                                           

는 각각 이 물체의 시각 에서의 위치, 속도, 속력, 가속도가 된다. 또 가 를 포함하는 어떤 구간 위에서 미분가능하면

시각 에서 까지 이 물체가 움직인 거리 는

                                           

로 주어지며,   가 일반벡터함수일 때에 는 호의 길이가 된다.

 

[예제 4] 매개방정식

                                         

로 주어지는 곡선을 원나선(circular helix)이라 한다. 이 원나선의   부터   까지의 호의 길이를 구하여라.

[풀이]   

                                    

 

[정의 6] 함수 가 구간 에서 연속이라고 하자. 이때 벡터함수

의 부정적분와 정적분는 각각 다음과 같이 정의한다.

                                                 

                                                 

구간 위에서 미분가능한 벡터함수 의 변수 가 에서 까지 변할 때 위치벡터 의 종점이 그리는

호의길이는

                                                

로 주어짐을 알았다.

 

지금부터는 공간곡선의 형태를 조사하는 데 매우 유용한 곡률, 단위접선벡터, 주법선벡터, 종법선벡터 등에 대하여 공부하기로 하자.

구간 에서 2계도함수를 갖는 벡터함수 의 종점 가 그리는 곡선을 라고 하자. 이때

                                              

를 점 에서의 곡선 의 단위접선벡터(unit tangent vector) 라고 한다. 단위접선벡터의 방향은 곡선 위의 점 에서의 접선방향

이고, 길이는 항상 1이다. 즉 이다.  벡터 는 단위접선벡터   에 수직이며 곡선의 안쪽을 향한다. 이 벡터 와

같은 방향을 갖는 단위벡터, 즉

                                            

를 점 에서의 곡선 의 주법선벡터(pricipal normal vector)라고 하며, 단위접선벡터 와 주법선벡터 의 시점이 둘 다

라고 생각할 때 이들 벡터에 의하여 만들어지는 평면을 에서의 곡선 에 대한 접촉평면(osculatingplane)이라 한다.

또한 와  에 동시에 수직인 벡터

                                             

를 점에 에서의 곡선 의 종법선벡터(binormal vector)라고 하는데 는 서로 직교하는 우수계(right hand system)

를 이루며 이들은 공간곡선을 살피는 데 유용하게 이용된다.

이제   를 각각 의 종점이라 하고 부터 까지의 곡선의 길이를 라고 하자. 즉

                                             

이때   에 관한 단위접선벡터 의 순간변화율

                                                    

를 점 에서의 곡선 의 곡률벡터(curvature vector)라고 한다. 한편, 합성함수의 미분법을 이용하면 곡률벡터는

                                                   

로 표현된다.

 

[정의 7] 벡터함수 의 종점이 그리는 곡선위의 점  에서의 곡률벡터의 크기를 점 에서의 곡률(curvature)

이라고 하고   로 나타낸다. 즉

                                                     

또 를 곡률반지름(radius of curvature)이라고 한다.

 

[예제 5] 원나선위 의 임의의 점에서의 곡률을 구하여라.

[풀이]  

                                         

 따라서

                                         

이므로 원나선의 곡률은 모든점에서 일정하다.

 

공간곡선의 곡률을 구하는데 정의를 직접 사용하는 것보다 다음 결과를 이용하는 것이 편리할 때가 많다.

 

[정리 3] 벡터함수 가 2계도함수를 가지면 다음이 성립한다.

                                                    

 

[예제 6]  

                                                  

의 곡률을 구하여라.

[풀이]                       

                                

                                

                                

그러므로

                                

이다.

 

       

                                                                  연습문제 10.5

 

※ 매개변수 의 주어진 값에 의한 점에서 단위접선벡터를 구하여라.

1.

2.

3. 일 때,

                                

임을 보여라.

 

※ 주어진 곡선의 길이를 구하여라.

4.

5.

6.

7.

 

※ 다음에 주어진 곡선 위의 임의점에서의 단위접선벡터, 주법선벡터 및 곡률을 구하여라.

8.

9.

10.

11.

 

12. 원나선   위의 임의점에서의 종법선벡터를 구하여라.