제 10 장 공간벡터와 벡터함수            

 

 

                                                                     10.1 벡터 

                                                                     10.2 벡터의 내적

                                                                     10.3 벡터의 외적

                                                                     10.4 벡터함수와 곡률

 

 

 

 

 

 

10.1 벡터

 

벡터(vector)라는 용어는 과학자들에 의하여 속도나 힘과 같이 크기와 방향을 가진 양을 가리키는 데 이용된다.

벡터는 흔히 화살표로 나타낸다. 화살표의 길이는 벡터의 크기(magnitude)를 나타내고, 화살표는 벡터의 방향(direction)을

가리킨다.

공간 내의 임의의 점 를 시점으로 하고 점 를 종점으로 하는 유향선분을 공간벡터 또는 벡터라 하고

                                          

등으로 나타낸다. 두 벡터 와 가 크기와 방향이 같을 때 이들 벡터는 서로 같다(equal)라고 하고 로 나타낸다.

원점을 시점으로 하는 벡터를 위치벡터(position  vector)라고 한다. 벡터는 크기와 방향이 일치하면 같은 벡터이므로 모든 벡터는

평행이동에 의하여 위치벡터로 나타낼 수 있다.

 

[정의 1] 좌표공간에서 원점 을 시점으로 하고 점 을 종점으로 하는 위치벡터를 또는 라고 할 때

                                       또는

으로 나타내며 이것을 벡터 의 성분표현이라고 한다. 또 이 때 을 벡터 의 성분(component)이라고 한다.

주어진 점 와 에 대하여 벡터 의 성분표현은

                                         

이다.

 

[예제 1] 시작점이 이고 종점이 인 벡터를 구하여라.

[풀이]                               

 

벡터 의 크기 또는 길이는 의 임의의 표현의 길이로 정하고, 로 나타낸다. 즉 삼차원벡터   의 크기는

이다. 크기가 1인 벡터를 단위벡터(unit vector)라고 한다. 특히 다음과 같은 단위벡터 를

기본단위벡터라고 한다.

                                                       

일반적으로 이면, 와 같은 방향을 가지는 단위벡터는

                                                       

이다.

 

[예제 2] 벡터 와 같은 방향을 가지는 단위벡터를 구하여라.

[풀이] 주어진 벡터의 길이는

                                                        

이므로 같은 방향을 가지는 단위벡터는

                                                        

이다.

 

이제 이들 벡터들 사이의 합, 차, 스칼라곱을 정의하여 보자.

 

[정의 2] 벡터 와 상수 에 대하여 두 벡터  의 합 , 차   및 스칼라곱 를

다음과 같이 정의한다.

                                                    

                                                   

                                                    

 

벡터들 사이의 합과 스칼라곱의 정의에 의하여 임의의 벡터는 기본단위벡터 의 스칼라곱의 합으로 나타낼 수 있다.

이면

                                              

이며, 이와 같은 표현을 의 일차결합(linear combinatio)이라고 한다.

정의 에 의하여 다음 벡터의 성질들을 알 수 있다.n

 

[정리 1] 임의의 벡터 와 실수 에 대하여

(1)   (교환법칙),    (결합법칙)

(2)

(3)  

(4)

 

                                                                  연습문제 10.1

 

※ 를 구하여라.

1.                                           2.

3.                                       4.

 

※ 주어진 벡터와 같은 방향을 가진 단위벡터를 구하여라.

5.                                                                     6.

7.                                                              8.

9.                                                                     10.

 

 

10.2 벡터의 내적

 

지금까지 벡터의 합, 스칼라곱을 공부하였다. 이제 두 벡터를 곱하였을 때 그 곱이 유용한 양이 되도록 하는 것이 가능할까 하는

의문이 생긴다. 그 같은 곱의 하나는 다음에서 정의하게 될 내적(inner product)이다.

 

[정의 1] 두 벡터 에 대하여 와 의 내적   는

                                                 

로 정의한다.

 

위의 내적의 정의로부터

                                                  

임을 알 수 있으며, 벡터의 내적은 항상 벡터가 아니라, 실수 값임을 유의하여야 한다.

내적은 실수의 곱에서 성립되는 많은 법칙을 따른다.

 

[정리 1] 가 벡터이고,   가 실수이면

(1)

(2)

(3)

 

[정리 2] 가 두 벡터   사이의 각이면

                                                  

이다.

 

[예제 1] 벡터 와 사이의 각을 구하여라.

[풀이] 두 벡터가 이루는 각을 라고 하면

                                              

따라서 이다.

  

이 아닌 두 벡터 와 사이의 각이 일 때,   와   는 수직(perpendicular) 또는 직교(orthogonal)라고 말한다.

따라서 와 가 직교하기 위한 필요충분조건은 이다.

 

[예제 2]  가 에 수직임을 보여라.

[풀이]                              

이므로 두 벡터는 수직이다.

 

 

                                                                      연습문제 10.2

 

※ 다음 벡터에 대하여 를 구하고 두 벡터사이의 각을 구하여라.

1.                                                2.  

3.                              4.  

 

5. 공간벡터 에 대하여 벡터 가 에 수직이기 위한 실수의 값을 구하여라.

 

6. 인 벡터 에 대하여 벡터 는 벡터 에 수직이며 일 때, 와    가 이루는

각을 구하여라.

 

7. (a) 임의의 벡터 에 대하여 부등식

                                                                 

   가 성립함을 증명하여라.

    (b) 임의의 실수   에 대하여 부등식

                                                            

   가 성립함을 증명하여라.

 

8. 임의의 벡터 에 대하여 부등식

                                                                

   가 성립함을 증명하여라.

 

9. (a) 임의의 벡터 에 대하여 등식

                                                              

   가 성립함을 증명하여라.

    (b) 위 등식을 이용하여

                                                              

   임을 증명하여라.

 

 

10.3 벡터의 외적

 

두 벡터간에는 내적 이외에 외적이라고 하는 또 하나의 벡터곱의 형식이 있다. 이미 잘 알고 있는 바와 같이 두 벡터의 내적은

실수값이었으나, 다음에 소개할 두 벡터의 외적은 그 결과가 하나의 벡터이다. 두 벡터 와   의 외적(cross product) 는

내적과는 다르게 벡터이다. 이와 같은 이유로 그것을 벡터곱(vector product)이라고 부르기도 한다.

 

[정의 1]

두 벡터 에 대하여, 벡터

                                                       

을 와   의 외적이라 하고   로 나타낸다. 즉

                                                       

 

[예제 1] 모든 벡터 에 대하여 임을 보여라.

[풀이] 라 하면

                                                    

        

다음 등식은 좌, 우변을 직접 전개하여 비교하거나 또는 행렬식의 성질을 이용하면 쉽게 증명할 수 있다.

                                  

                                  

 

[정리 1] 벡터 는 와   에 동시에 직교한다. 즉

                                    

 

[예제 2] 두 벡터 에 동시에 수직인 단위벡터를 구하여라.

[풀이] 위의 정리에 의하여 는 벡터 와 에 동시에 수직이다. 한편

 따라서

                                           

는 벡터 와   에 동시에 수직인 단위벡터이다.

 

[정리 2] 가   와 사이의 각이면

                                       

이다.

 

[따름 정리] 이 아닌 두 벡터 와 가 평행일 필요충분조건은 이다.

 

위의 정리의 기하학적인 설명은 밑면 , 높이 , 그리고 넓이

                                       

를 가지는 평행사변형을 결정한다.

 

[예제 3] 꼭지점이 인 삼각형의 넓이를 구하여라.

[풀이]  라고 하면

                                      

따라서 구하는 삼각형의 넓이는 평행사변형넓이의 반이므로

                                        

이다.

 

 

                                                                 연습문제 10.3

 

※ 다음 문제에서  와 를 구하여라.

1.  

2.  

3.  

4. 벡터 와 에 동시에 수직인 벡터를 구하여라.

5. 이면 임을 증명하여라.

6. 임의의 벡터 에 대하여 다음 등식을 증명하여라.