9.4 멱급수

 

지금까지 우리는 각 항이 상수인 급수-상수항급수(series of constants)에 대하여 공부했다.

이 절에서는 변수를 포함한 급수-함수항급수(series of function)에 대하여 논하겠다.

 

[정의 1] 수열 과 상수 에 대하여

                                              

와 같은 형태의 급수를 에 관한 멱급수(power series)라고 한다.

 

예를 들면

                                                          

                                                         

는 모두 멱급수이다.

멱급수에서 변수 대신에 어떤 수를 대입하면 앞절에서 다룬 상수항급수가 되고 따라서 수렴성을 조사할 수 있다.

멱급수에 대한 근본문제는 가 어떤 값일 때 은 수렴하느냐 하는 것이다. 특히 이 때는 비판정법이 유용하게 쓰인다.

 

[정리 1] 멱급수의 수렴성

멱급수

                                                                             

에서 다음의 오직 한가지만 성립한다.

(1) 모든 에 대해서 절대수렴하거나

(2) 에서만 수렴하거나

(3) 어떤 수 이 있어서 이면 절대수렴하고 이면 발산한다.

 

특히 (3)일 경우 을 멱급수

                                                                           

의 수렴반경(radius of convergence)이라고 한다.  (1)일 경우는 수렴반경 로

표시하고  (2)일 경우는 수렴반경 으로 표시한다. 멱급수가 수렴하는 의 집합을 특히 수렴구간(interval of convergence)

이라고 한다.

 

[정리 2] 멱급수

                                                                        

에서 만일

                                                                       

가 존재하면, 수렴반경은

                                                                        

이다.

 

[예제 1] 다음 멱급수의 수렴구간을 구하여라.

                                                    

[풀이] 정리 2에의하여 수렴반경은

                                                          

이므로 에서만 급수는 수렴한다. 따라서 수렴구간은 이다.

 

[예제 2] 멱급수

                                                                      

의 수렴구간을 구하여라.

[풀이]                                

                                 

따라서

                                                                     

이면 비판정법에 의하여 절대수렴하고

                                                                     

이면 발산한다.

이면 조화급수

                                                                      

이 되어 발산하고   이면 교대조화급수

                                                                  

이 되어 수렴하므로

수렴구간은 이다.

 

[예제 3] 멱급수

                                                                

의 수렴구간을 구하여라.

[풀이]     

                                       

따라서 모든 에 대하여 이므로 수렴구간은 이다.

 

 

                                                               연습문제 9.4

 

※ 다음 급수의 수렴반경과 수렴구간을 구하여라.

1.                                                            2.

3.                                                                4.

5.                                                    6.

7. 멱급수

                                                                 

의 수렴반경이 일 때, 멱급수

                                                                

의 수렴반경을 구하여라.

 

 

9.5 함수의 멱급수 전개

 

수학의 중요한 부분으로 와 같은 초월함수를 멱급수로 표시하는 방법이 있다.  

앞 절에서 우리는 멱급수의 수렴구간이 있음을 알았다.

멱급수의 수렴구간에서 이 급수의 합 가 존재하므로 이 수렴구간에서 는 미분 및 적분이 가능한가?

다음 정리에서 그 결과를 알 수 있다.

 

[정리 1] 수렴구간 위에서

                                               

이고 가 안의 점이면

(1)

(2)

 

[예제 1] 를 에 관한 멱급수로 나타내어라.

[풀이]                                 

                                                       

이다.

                                                                

에서

                                                                

로 놓으면

                                          

이므로

                                           

이다.

 

[정리 2] 함수 가 를 포함하는 어떤 구간 내의 모든 점 에 대하여

                                         

을 만족하면

                                          

이다. 그리고 에 관한 함수 의 멱급수의 표현은 유일하다.

 

위의 유일성 정리에서 에 관한 함수 의 멱급수를 의 에서의 Taylor급수 라 하고, 특히 일 때에 관한 멱급수를

Maclaurin급수라 한다.

 

[정리 3] Taylor 정리

 

만일 함수 가 를 포함한 구간내의 모든 점에서 계의 도함수를 갖는다고 하자. 이때 구간내의 임의의 점 에 대하여

                                 

이다. 여기서 나머지항 는

                                                    

이며, 는 와 사이의 적당한 점이다.

 

[정리 4] Taylor급수의 수렴성

함수 를 구간 에서 모든 계수의 도함수가 존재하는 함수라 하자. 이 구간에서 Taylor급수

                                                     

함수 를 나타내기 위한 필요충분조건은

                                                            

이다.

 

[예제 1] 에 대한 Maclaurin 급수를 구하라.

[풀이]                                      

                                                

                                                

                                                

                                                

                                                                  

                                                                                                                                

이므로 의 Maclaurin 급수는

                                                

이다.

 

[예제 2] 함수 에 대한 Maclaurin 급수를 구하라.

[풀이]                                      

                                                

                                                

                                                

                                                              

 

이므로 의 Maclaurin 급수는

                                                

이다.

 

 

                                                           연습문제 9.5

 

※ 다음 함수를 멱급수로 나타내고 수렴반경을 구하여라.

1.                                                                 2.

3.                                                      4.

 

※ 다음 부정적분을 멱급수로 나타내어라.

5.                                                              6.

 

※ 다음 함수들의 Maclaurin급수를 구하여라.

7.                                                             8.

9.                                                         10.

 

※ 다음 부정적분을 무한급수로 구하여라.

11.                                                          12.