8.4 매개변수곡선의 길이

 

직교좌표방정식 로 주어진 곡선 의 길이 을 구하는 방법을 알고 있다. 즉

                                                .

가 매개변수방정식 로 나타나면

                                               

이므로

이라면

                                               

이다. 즉

                                               

가 매개변수방정식에 대한 호의 길이 구하는 공식이 된다.

 

[예제 1]  의 곡선의 길이를 구하여라.

[풀이]    

                                      

 

[예제 2] cycloid    의 한 개의 반원형의 호의 길이를 구하여라.

[풀이] 한 개의 반원형은   로 주어진다.

                                            

                                              

                                              

이다. 여기서 cosine 배각공식 을 이용하고,    로부터   이므로  

이되어

                                              

이다. 그러므로

                                              

 

 

                                                                   연습문제 8.4

 

※ 주어진 곡선의 길이를 구하여라.

 

1.  

 

2.

 

3.

 

4.

 

5.

 

 

8.5 매개변수곡선에서의 표면적

 

앞 절의 매개변수곡선의 길이와 마찬가지로 직교좌표로 나타난 곡선을 회전시켜 얻은 입체의 표면적을 구하는 공식을 이용하여

매개변수로 표시된 경우에도 회전체의 표면적을 구할 수 있다.

 

(1) 직교좌표   를 축으로 회전하여 얻어지는 입체의 표면적 구하는 공식은

                                                         

임을 앞장에서 알 수 있었다. 이것을 이용하면 매개변수 방정식 을 축으로 회전시킨 입체의 표면적은

                                                        

임을 알 수 있다.

 

(2) 직교좌표   를 축으로 회전하여 얻어지는 입체의 표면적 구하는 공식은

                                                        

임을 앞장에서 알 수 있었다. 이것을 이용하면 매개변수 방정식 을  축으로 회전시킨 입체의 표면적은

                                                         

가 됨을 알 수 있다.

 

[예제 1] 반지름이 인 구의 표면적이   임을 보여라.

[풀이] 반지름이 인 구는 반원 를 축으로 회전시키면 얻어진다. 그러므로

                                                      

                                                         

         

[예제 2] cycloid     의 반원형을 축으로 회전시켜 생겨나는 입체의 표면적을 구하여라.

[풀이] 한 개의 반원형은   이므로

                                                      

                                                         

 cosine 배각공식을 이용하면,                

                                                      

                                                         

이다. 여기서   로 치환하면 로 변하므로

                                                     

                                                       

 

 

                                                                      연습문제 8.5

 

※ 주어진 곡선을   축으로 회전하여 얻어진 입체의 표면적을 구하여라.

1.

2.

 

※ 주어진 곡선을   축으로 회전하여 얻어진 입체의 표면적을 구하여라.

3.

4.

 

 

 

8.6 극좌표계

 

한 직선 위에 고정점을 잡으면 임의의 점의 위치는 거리 와 각 의 크기에 의하여 결정된다.   을 동경벡터, 를 편각이라고 하면

점 를 극좌표라 한다.  

극좌표 와 직교좌표 사이의 관계식은 다음과 같다.

                                                       

                                                       .

이 관계식을 이용하여 직교좌표를 극좌표로, 극좌표를 직교좌표로 나타낼 수 있다.

 

[예제 1]

극좌표인 점 을 직교좌표로 바꾸어라.

[풀이] 이고 이므로

                                                     

                                                     .

그러므로 직교좌표는 .

 

[예제 2] 직교좌표 인 점을 극좌표로 나타내어라.

[풀이]                                      

 

이고   은 제 4분면에 있으므로   혹은 이므로 구하는  극좌표는 이며 또 다른 하나는

이다.

 

                                                         연습문제 8.6

 

※ 다음의 직교 좌표를 극좌표로 바꾸어라.

1.                                                          2.

3.                                                                    4.

 

※ 다음의 극좌표를 직교좌표로 바꾸어라.

5.                                                                6.

7.                                                            8.