제8장 매개변수방정식과 극좌표

 

 

                                                               8.1  매개변수 방정식과 평면곡선

                                                               8.2  매개변수곡선의 접선

                                                               8.3  매개변수곡선에서의 면적

                                                               8.4  매개변수곡선의 길이

                                                               8.5  매개변수곡선에서의 표면적

                                                               8.6  극좌표계

                                                               8.7  극좌표계에서의 접선

                                                               8.8  극좌표계에서의 면적

                                                               8.9 극좌표계에서의 곡선의 길이

 

 

 

8.1 매개변수방정식과 평면곡선

 

와   가 매개변수인 제 3의 변수 의 연속함수로서 방정식

                                                             

로 주어졌을 때 이 방정식을 매개변수 방정식이라 한다. 매개변수 방정식에서 매개변수   를 소거하면   와 의 관계식을 알 수

있다.

가 변할때 마다  는 각각   함수를 따라 변하여   의 값들은 점 를 결정하여 그 자취를 따라 곡선 가 생성되는데

이 곡선 를 평면곡선이라 한다.

 

[예제 1] 매개변수 방정식   에 의해 나타나는 곡선은 무엇인가?

[풀이]  이므로 이고   이므로 이다. 그러므로 에서 까지

포물선 을 따라 움직인다.

 

[예제 2] 매개변수방정식 에 의하여 나타나는 곡선은 무엇인가?

[풀이] 이므로 단위원이다. 그러나, 가 에서 로 증가할 때 점 는

에서 출발하여 시계방향으로 두 바퀴 돈다.

                                                           

[예제 3] 매개변수 방정식  이 나타내는 곡선은 무엇인가?

[풀이] 임은 쉽게 알 수 있다.  이므로 이고   는 주기함수 이므로 점 는

에서 까지 포물선 을 따라 앞뒤로 무한번 움직인다.                                                                

 

[예제 4] 광장에서 자전거를 탄다고 가정했을 때 자전거 바퀴의 원주상에 있는 점  가 이루는 곡선을 cycloid 라 한다.

바퀴의 반지름이 이고 축을 따라 구르고, 한 점 의 위치가 원점일 때 cycloid 의 매개변수 방정식을 구하여라.

[풀이] 매개변수로서 바퀴, 즉 원의 회전각을 라 하자. 가 원점에 있을 때 이다. 바퀴가   만큼 회전했을 때 바퀴가

원점으로부터 굴러간 거리는 이다.  의 좌표를 라 하자. 그러면  cycloid 의 매개변수방정식은

                                                        

 

cycloid 의 한 개의 반원형은 바퀴가 1회전 할 때 생기고   에 의하여 그려지고,   을 주기로 하는 주기곡선을 이룬다.

 

 

                                                               연습문제 8.1

 

※ 다음 매개변수방정식을 직교방정식으로 바꾸어라.

1.  

2.  

3.  

4.

5.

6.

 

 

 

8.2 매개변수곡선의 접선

 

앞 절에서, 매개변수방정식 로 정의된 곡선들은 또한 매개변수를 소거하여 직교방정식 형으로 나타낼 수

있음을 알았다. 방정식에 를 대입하면,

                                                                     

가 되고   가 미분 가능하면  연쇄율 법칙에 의하여

                                                                  

를 얻는다.   이면

                                                                

즉,

                                                               

곡선 의 접선의 기울기는   이므로 매개변수를 제거하지 않고 매개변수 곡선에 대한 접선을 구할 수 있다.

 

[예제 1]

(1) cycloid 에 대한

                                                                      

을 구하여라.

(2) 에서의 cycloid 의 접선을 구하여라.

 

[풀이]

(1)                                                

                                                    

이므로  

                                                         

을 먼저 구해 보자.

                                                   

                                                               

                

그러므로

                                                  

(2)   일 때

                                                  

                                                  

그러므로 접선의 기울기는   이고 접선의 방정식은

                                                  

즉,

                                                  

 

 

                                                                   연습문제 8. 2

 

※ 매개변수의 주어진 값에 대응하는 곡선 위의 점에서 접선의 방정식을 구하여라.

 

1.

 

2.

 

3.

 

4.

 

5.

 

6.

 

7.

 

8.

 

9.

 

※ 다음 매개변수방정식에 대한 을 구하여라.

10.

 

11.

 

12.

 

13.

 

14.

 

15.

 

 

 

8.3 매개변수곡선에서의 면적  

 

에서   까지의 곡선  아래에 있는 면적은

                                                                           

임을 잘 알고 있다.

곡선이 매개변수방정식 로 주어졌을 경우에는 면적 는

                                                                       

 

[예제 1]  cycloid 의 한 반원형 아래의 면적을 구하여라.

[풀이] cycloid 의 한 반원형은   로 주어진다.

                                                    

                                                       

                                                       

                                                       

 

 

                                                                   연습문제 8.3

 

※ 다음 매개변수방정식으로 이루어진 부분의 면적을 구하여라.

1.

2.

3.