6.5. 삼각치환법

 

                             은 로 치환

                            은 로 치환

                            은 로 치환

 

[예제 1]

                                          

를 구하라.

[풀이]

로 치환하면 이므로

                                 

                                         

                                         

                                         

                                         

                                  ,

이므로

                                  

이다. 그러므로

                                   

 

[예제 2]

                                            

를 구하여라.

[풀이]

로 치환하면 이므로

                                  

                                          

                                          

                                       

이므로

                                                         

 

[예제 3]

                                                 

를 구하여라.

[풀이]

로 치환하면 이므로

                                   

                                                 

                                                 

                                                 

                                          

이므로

 

[예제 4]

                                                

를 구하여라.

[풀이]

피적분함수의 근호 안을 완전제곱으로 고친다.

                                    

                                             

로 치환하면 이고 이므로

이다. 로 치환하면 이므로

                                          

                                                          

                                                          

 이므로

                                    

 

[예제 5]

                                                 

를 구하여라.

[풀이]

로 치환하면 이므로

                                             

                                                   

                                                   

                                                   

 

 

                                     연습문제 6.5

 

※ 다음을 적분하여라.

1.                                                   2.

3.                                                     4.

5.                                                 6,

7.                                                  8.

9.                                               10.

 

 

 

 

6.6 유리함수의 적분

 

유리함수 적분법은 다음의 단계를 거쳐 적분한다.

(단계 1) 가분수 함수는 다항식 + 진분수 함수로 표현한다.

(단계 2) 분모를 인수 분해한다. (분모가 인수분해 되지 않을 경우에는 완전 제곱형으로 한다.)

(단계 3) 부분분수분해한다.

 

(단계 3)의 부분분수분해에 대하여 상세히 알아보자. 부분분수 분해의 기본 원칙은 주어진 분수의 분모가 나올 수 있는 모든 경우의 분수를 가져오고, 분자는 분모보다 차수가 하나 작게 둔다.

 

<경우 1 > 분모가 서로 다른 일차인수의 곱일 때 즉,

                               인 경우 :

                              

가 성립하는 을 미정계수법 또는 계수비교법으로 구하여 부분분수분해 한다. 예컨대

                                  

                                                 

여기서 상수 를 결정하는 방법은 일반적으로 두 가지가 있다.

 

* 미정계수법

여기서 를 구하려면 다시 우변을 통분하여 분모가 같으므로 분자도 같아야 한다는 사실로 를 결정한다. 즉,

에서 를 대입하면 다음의 결과를 얻는다.

                                        

                                        

                                        

 

* 계수비교법  

  우변을 전개하면

을 얻는데 이것은 항등식이므로 양변의 동차항의 계수를 같게 놓으면 다음의 연립방정식을 얻는다.

                                          

                                               

                                        

이 연립방정식을 풀면

                                       .

 

< 경우 2 > 분모가 반복되는 일차인수들의 곱일 때 즉,

이 의 인수에 있을 경우 :

                                       

을 사용한다. 예컨대

 

< 경우 3 > 분모가 반복되지 않는 비 분리형 이차인수를 가질 때 즉,

가 항을 가지는 경우 :

                                                  

형의 항을 가진다. 예컨대

로 부분분수분해된다.

 

< 경우 4 > 분모가 반복되는 비분리 이차함수를 가질 때 즉,

가 항을 가지는 경우 :

                                 

 으로 부분분수한다. 예컨대

                                   .

 

[예제 1]

                                            

를 구하여라.

[풀이]

진분수이므로 분모를 인수분해 하여 부분분수분해하면

                                       

                                                      

여기서 를 구하려면 다시 우변을 통분하여 분모가 같으므로 분자도 같아야 한다는 사실로를 결정한다. 즉,

에서 를 대입하면 다음의 결과를 얻는다.

                                        

                                        

                                        

이 값을 대입하여 적분하면

                               

                                              

                                              

 

[예제 2]

                                               

를 구하여라.

[풀이]

에서 를 결정하기 위하여 계수비교법을 이용해보자.

                           

                                   

동차항의 계수를 비교하면,

                                                 

                                                        

                                                

                                                  

                                                         

따라서 를 얻는다. 그러므로

                                     

                                                   

 

[예제 3]

                                              

를 구하여라.

[풀이]

유리함수가 가분수이므로 먼저 분모를 분자로 나누면

우변의 유리함수를 부분분수분해하면

                                

                                                      

계수비교법을 이용하면 을 얻는다. 그러므로

                

                                          

 

 

                                      연습문제 6.6

 

※ 다음을 부분분수분해 하여라.

1.                                             2.

3.                                                 4.

5.                                                   6.

 

※ 다음을 적분하여라.

7.                                                8.

9.                                      10.

11.                                              12.

13.                                              14.

15.                                           16.