6.3 부분적분법   

 

치환적분법이 미분법의 연쇄법칙에 대응한다고 하면 미분법에서 곱셈법칙에 대응하는 것은 부분적분법이다.

미분 가능한 2개의 함수 의 곱, 즉 의 미분은

임은 잘 알고 있다. 이식을 다시 쓰면

이다. 양변을 적분하면

가 된다.  이것을 부분적분 공식이라 한다.

 

[예제 1]

                                                    

를 계산하라.

[풀이]

라하면 이므로 부분적분공식에 의하여

                                    

 

[예제 2]

                                                  

를 계산하라.

[풀이] 이라 두면

                                              

이므로 부분적분공식에 의하여

우변의 적분에서 라두면 이므로

                                     

                                              

이다. 그러므로

                                  

 

[예제 3]

                                                  

를 계산하라.

[풀이] 라 두면

                                                

이므로 부분적분법에 의하여

                                              

                                                     

                                                     

 

[예제 4]

                                              

를 계산하라.

[풀이]

라 하면 이므로 부분적분법에 의하여

 

이다.

                                                     

에 다시 한번 부분적분법을 수행한다.

라 두면 이므로

이다. 그러므로

를 얻는다. 따라서

이다. 양변을 2로 나누고 적분상수를 더하면

                                         

 

부분적분법을 이용하여 다음과 같은 점화식을 얻을 수 있다.

 

[예제 5]

다음의 sine 의 점화공식을 유도하라. 단, 인 정수이다.

[풀이]

                                      

라 생각할수 있다. 여기서   라두면

이므로 부분적분공식에 의하여

이다. 이기 때문에

 

을 얻을 수 있다. 우변의 마지막 항을 좌변으로 넘기면

즉,

                                

 

[예제 6]

다음의 tangent 의 점화공식을 유도하라. 단, 인 정수이다.

.

[풀이]  

                                       

이고 이므로

이다. 우변의 첫째 항을 로 치환하면 이므로

                                      

                                                      

                                                      

을 얻는다.  그러므로

                                    

 

[예제 7]

                                               

를 계산하라.

[풀이]

sine 의 점화공식에서 인 경우이므로

이고

이다. 같은 방법으로

                                     

                                            

그러므로

을 얻는다. 이것을 정리하면

                       

                                                            

 

                                       연습문제 6.3

 

※ 부분 적분법으로 다음 적분을 계산하라.

1.                                            2.

3.                                            4.

5.                                           6.

 

※ 다음 점화식을 유도하라.

 7.

 8.

 9.

10.

11.

12.

 

 

 

 

6.4. 삼각함수적분의 변환

 

[1] 의 계산법

(i) 이 양의 홀수인 경우 : 하나만 남겨두고 나머지는 을 이용하여항으로 표현한다.

그리고 로 치환하여 적분한다.

 

(ii) 이 양의 홀수인 경우 : 하나만 남겨두고 나머지는 을 이용하여 항으로 표현한다.

그리고 로 치환하여 적분한다.

 

[예제 1]

                                            

를 구하라.

[풀이]

                                  

                                                

                                                

라 치환하면 이므로

                                  

                                                 

                                                 

 

[예제 2]

                                           

를 구하라.

[풀이]

                                      

                                                    

라 치환하면 이므로

                                      

                                                    

                                                    

                                                    

 

(iii) 과 이 모두 짝수인 경우 : 홀수 지수를 가질 때까지 반각공식

                           

을 이용한다.

 

[예제 3]

                                                   

를 구하라.

[풀이]

                                    

                                            

 

[예제 4]

                                                

를 구하라.

[풀이]

                          

                                           

                                           

                                           

                                           

 

[2] 의 적분법

(i) 이 짝수일 경우 : 하나만 남겨두고 를 이용하여 나머지 부분을 항으로 표현한다.

그리고  로 치환하여 적분한다.

 

(ii) 이 홀수인 경우 : 하나만 남겨두고 을 이용하여 나머지 부분을 항으로 표현한다.

그리고 로 치환하여 적분한다.

 

[예제 5]

                                             

를 구하라.

[풀이]

                            

                                          

로 치환하면 이므로

                           

                                          

                                          

                                          

 

[예제 6]

                                        

를 구하라.

[풀이]

                          

                                         

로 치환하면 이므로

                          

                                        

                                        

                                        

 

[예제 7]

                                      

를 구하라.

[풀이]

                               

                                       

                                       

                                       

 

[예제 8]

                                      

를 구하라.

[풀이]

분모와 분자에 를 곱한다. 그리고 로 치환하면 이므로

                                

                                       

                                       

                                       

 

[예제 9]

                                     

를 구하라.

[풀이]

부분적분법을 이용하여 라 두면

이므로

                         

                                

                                

[예제 8]의 결과를 이용하면

                       

 

[3]  의 적분법

적분의 곱을 합으로 고치는 공식 :

                           

                           

                           

 

[예제 10]

                                    

를 구하라.

[풀이]

                        

                                      

 

[예제 11]

                                    

를 구하라.

[풀이]

                      

                                    

                                    

 

 

                                       연습문제 6.4

 

※ 다음적분을 구하라.

1.                                                2.

3.                                                    4.

5.                                               6.

7.                                                8.

9.                                             10.