5.4 미적분학의 기본 정리

 

[정리 1]  미적분학의 기본정리 I

함수 가 폐구간 위에서 연속이면, 다음과 같이 정의되는 함수 는 위에서 연속이고, 개구간 위에서

미분가능하며, 이다.

도함수에 대한 라이프니츠의 기호를 이용함으로써 정리1을 다음과 같이 나타낼 수 있다. 함수 가 연속함수일 때

 

[예제 1] 함수

                                                

의 도함수를 구하여라.

[풀이]

은 연속함수이기 때문에 미적분학의 기본정리 I에 의하여

 

[예제 2]

                                                   

를 구하여라.

[풀이]

먼저 으로 놓자. 그러면

                                        

                                                 (연쇄법칙에 의하여)

                                                 (미적분학의 기본정리 I )

                                                 

 

[정리 2] 미적분학의 기본정리 II

함수 가 폐구간 위에서 연속이면,

가 성립한다. 여기에서 는 의 역도함수, 즉 이다.

 

편의상 를 나타내는 기호로 다음과 같은 기호를 사용하기로 한다.

 

[예제 3]

                                                    

를 구하여라.

[풀이]

                                                  

                                                          

                                                          

                                                           

 

[예제 4]

                                                

를 구하여라.

[풀이]

                          

                                                         

                                                         

                                                         

 

[예제 5]

포물선 , 직선 및 축으로 둘러싸인 영역의 면적을 구하여라.

[풀이]

의 역도함수는 이다. 미적분학의 기본정리 II에 의하여 면적 는

 

[예제 6]

                                                    

를 구하여라.

[풀이]

                                            

                                                  

                                                  

 

[예제 7]

                                               

인 함수 를 구하여라.

[풀이]

로 두면 에서 이다. 다시 로 치환하면

따라서

이므로

 

 

                                        연습문제 5.4

 

※ 문제 1~12 에서 정적분을 구하여라.

1.                                                   2.

3.                                        4.

5.                                               6.

7.                                               8.

9.                                         10.

11.                                           12.

 

※ 문제 13~18에서 도함수를 구하여라.

13.                                    14.

15.                                    16.

17.                                       18.

 

19. 함수 가 구간 에서 연속이고 모든 에 대하여 이면 는 증가함수임을 보여라.

 

20. 길이의 장대의 선형밀도가 로 미터당 킬로그램으로 주어져 있다. 여기서 는 장대의 한쪽 끝에서  길이를 미터로 나타낸 것이다. 장대의 총 질량을 구하여라.

 

 

 

5.5 치환법칙

 

[정리 1]

함수 가 미분가능하고 그 치역이 구간 이며, 함수 가 구간 위에서 연속이면,

 

[예제 1] 부정적분

                                              

를 구하여라.

[풀이]

이라고 하면 이고 이다.

                                           

                                                          

                                                          

                                                          

 

[예제 2] 부정적분

                                             

을 구하여라.

[풀이]  로 두면 이다.

                                          

                                                      

 

[정리 2]

이 폐구간 위에서 연속이고 가 의 치역 위에서 연속이면,

[예제 3] 정적분

                                               

를 구하여라.

[풀이]

로 두면이다. 적분의 새로운 한계를 구하면, 일 때 이고, 일 때 이다.

                                                

                                                        

                                                        

 

[예제 4] 정적분

                                                     

을 구하여라.

[풀이]

라 두면 이다. 일 때 이고, 일 때 이다. 그러므로

                                                    

                                                                

                                                                

 

[정리 3]

함수 가 폐구간 위에서 연속이라고 가정하자. 그러면

가 우함수 이면,

                                                     

가 기함수 이면,

                                                   

 

[예제 5]

                                                   

을 구하여라.

[풀이]

이므로 는 우함수이다. 따라서,

                                

                                              

 

[예제 6]

                                                  

를 구하여라.

 

[풀이]

는 기함수이다. 따라서 적분값은 이다.

 

 

                                         연습문제 5.5 

 

※ 문제 1~6 에서 치환을 이용하여 다음의 부정적분을 구하여라.

1.                                                  2.

3.                                              4.

5.                                 6.

 

※ 문제 7~12에서 치환을 이용하여 다음의 정적분을 구하여라.

7.                                                8.

9.                                               10.

11.                                         12.

 

※ 문제 13~14에서 대칭성을 이용하여  정적분을 구하여라.

13.                                   14.