제 4 장 초월함수

 

 

                                                                   4.1. 역삼각함수

                                                                   4.2. 로그함수와 지수함수의 도함수

                                                                   4.3. 쌍곡선 함수와 그의 역함수

 

 

 

 

 

4.1. 역삼각함수

 

 한 함수의 역함수를 생각하려면 그 함수는 일가함수(전단사) 이어야만 된다. 따라서   에서 를 에서   까지 제한을

한다.  이때 를  함수 의 주치라 정의하고 표현은 함수표현의 첫문자를 대문자로 표시하여   라 한다.  

 

 

[예제1] 은 무한히 많은 값 들 중의 임의의 한 값을 표시한다.

그러나 의 값은 이다.

 

앞으로 이후의 역삼각함수에 대하여서는 별다른 표현이 없는 경우에는 주치를 나타낸다는 것으로 약속하자.

 

같은 방법으로

                                               

                                               

                                               

                                               

                                               

 

 

[예제2]

(1)                                         (2)  

(3)                                           (4)

 

[예제 3]  다음 등식을 증명하여라

(1)                                     (2)  

(3)                                     (4)

 

[풀이]

(1)   을 이용하면   이다.   라 두면 이고, cosine 의 주치는

이므로 . 따라서

                                                

(2) (1)과 같은 방법으로 증명되어진다.

(3) 를 이용하면   이다.   라 두면   이고, tangent 의 주치는

이므로 . 따라서,

                                                

(4) (3)과 같은 방법으로 증명된다.

 

[예제 4]

                                                                 

를 구하여라.

[풀이]  배각공식 를 이용하면,

                                            

                                                                 

                        

 

이제 역삼각함수의 도함수는 어떻게 구하여 지는지를 살펴보자.

먼저 함수   의 도함수를 생각하자.

                                             

이므로 양변을   에 관하여 미분하면

                                                   , 즉,  

을 얻는다.  한편

                                              

 이고

                                                        

이므로  이다.  따라서

                                                   , 즉,  

이다.

따라서, 다음의 공식을 얻게 된다.

                                                               

 

[예제5]    이면

                                                

 

같은 방법으로 다음 공식을 유도할 수 있다.

                                                  

                                                  

                                                 

                                                 

                                                 

 

[예제6]    이면

                                                

                                                     

            

[예제 7]    이면

                                             

                                                 

      

 

 

                                                               연습문제 4.1

 

※ 다음을 간단히 하여라.

1.                                                                2.  

 

3. 다음 등식을 증명하여라.

                                          

 

※ 다음 각 함수의 도함수를 구하여라.

4.                                                                    5.  

6.                                                       7.  

8.                                                                  9.  

10.                                                            11.

 

 

 

 

 

4.2. 로그함수 와 지수함수의 도함수

 

(1) 로그함수의 도함수

                                                            

 자연 로그함수에 대해서는

                                                               

 

[예제1]

                                                           

 일때 도함수를 구하여라.

[풀이]    이라 두고 연쇄율을 적용하면

                                               

 

[예제2]

                                                            

일때 도함수를 구하여라.

[풀이]  로그함수의 성질에 의하여 준식을 간단히 하면

                                                

따라서

                                             

 

[예제3]   일때 도함수를 구하여라.

[풀이]

                                          

                                               

     

 

미분공식에 대응하여 적분공식이 있다.

                                           

 

[예제4]

                                                     

 를 구하여라.

[풀이]     이라 두면    이므로

                                          

                     

 [예제5]

                                                   

를 구하여라.

[풀이]   이라두면   이므로

                                          

                

              

(2) 지수함수의 도함수

                                                                         

 자연지수함수에 대해서는

                                                                          

 

[예제6]    일때 도함수를 구하여라.

[풀이]    의 양변에  로그함수를 취하면

                                                                       

 

에 관하여 미분하면

                                                                  

따라서

                                                                  

 

[예제7]   일때 도함수를 구하여라.

[풀이]                                      

                

[예제8]     ( 는 임의의 실수) 일때 도함수를 구하여라.

[풀이]   의 양변에 자연로그함수를 취하면

                                                                  

윗 식의 양변을   에 관하여 미분하면

                                                                  

따라서

                                                           

 

 

지수함수의 적분은

                                                            

이고

                                                                     

 

[예제9]

                                                                   

를 구하여라.

[풀이]     이라두면   이므로

                                                 

                        

[예제10]

                                                                

를 구하여라.

[풀이]   라 두면   이므로

                                               

         

 

                                                                 연습문제 4.2

 

※ 다음 각 함수의 도함수를 구하여라.

1.                                                              2.

3.                                                    4.  

5.                                                             6.  

7.                                                                    8.  

9.                                                                   10.  

11.                                                              12.

 

13.   이면   임을 증명하여라.

 

14.   이면   임을 보여라.

 

 

 

 

4.3. 쌍곡선 함수와 그의 역함수

 

(1) 쌍곡선함수와 도함수

다음과 같이 지수함수   와   을 적당히 결합하여 만들어진 함수를 쌍곡선함수라 한다.

                                               ,             

                                                ,                    

                                                ,                 

 

[예제1]   이 성립함을 보여라.

[풀이]            

                                               

      

 

쌍곡선함수의 도함수는 지수함수의 도함수로 부터 쉽게 얻어질 수 있다.

                                                  

                                                 

 

나머지 쌍곡선 함수의 도함수는 다음과 같다.

                                               

                                              

 

[예제2]    의 도함수를 구하여라.

[풀이]          

                                             

                

     

(2) 역쌍곡선함수의 도함수

   

                                                         

                                                         

                                                         

                                                         

                                                          

                                                         

 

쌍곡선함수가 자연지수함수로 표시되므로  역 쌍곡선함수는 자연로그함수로 표시된다.

를 생각하자. 즉

                                                             

이것을 에관해서 풀어보면

                                                            

가 되고 에 관한 이차방정식이므로, 근의 공식에 의해

                                                      

이므로

                                                                 

을 얻고 이식에 자연로그를 취하면

                                                     즉    

 

다른 쌍곡선 함수의 역함수에  같은 논법을 적용하면 다음을 얻을 수 있다.

                                                    

                                                    

                                                    

                                                    

                                                    

 

따라서 이들의 도함수는 다음과 같다.

                                                  

                                                 

                                                 

                                                 

                                                

                                                

     

 

[예제3]    의 도함수를 구하여라.

[풀이]   로 놓으면 ,   도함수의 연쇄률 공식에 의하여

                                     

              

[예제4]   의 도함수를 구하여라.

[풀이]                        

                                            

         

 

 

                                                                 연습문제 4.3

 

※ 다음의 등식을 증명하여라.

1.      

2.   

3.   

4. 

5.  

6.  

 

※ 다음 각 항의 도함수를 구하여라.

7.                                                            8.

9.                                                       10.

11.                                                     12.

13.                                                     14.