3.1,3.2,3.3

제 3 장 도함수의 응용

3.1 최대값과 최소값

3.2 평균값 정리

3.3 함수의 그래프 : 단조성과 오목성

3.4 부정형과 L'hopital 법칙

3.5 근의 근사값 : Newton 의 해법에 의한 방정식 풀이

3.6 미분과 근사값

3.7 역도함수

3.1 최대값과 최소값

[정의 1] 최대값과 최소값

의 정의역 의 모든 원소 에 대하여 가 성립할 때 함수 는 에서 최대값을 가진다고 하고,

는 에서 의 최대값이라 한다. 유사하게 의 모든 원소 에 대해서 가 성립할 때 는 에서

최소값을 갖는다고 하고 를 에서 의 최소값이라 한다.

[정의 2] 극대값과 극소값

를 품는 개구간 가 존재하여 의 모든 원소 에 대하여 를 만족할 때 함수 는 에서 극대값을 갖는다고

한다. 유사하게, 를 품는 개구간 가 존재하여 의 원소 에 대하여 를 만족할 때 는 에서 극소값을

갖는다고 한다. 극대값과 극소값을 극값이라고 한다.

[정리 1] 최대최소값 정리

함수 가 폐구간 에서 연속이면, 는 의 점 와 에서 최대값 와 최소값 를 갖는다.

[정리 2] Fermat 의 정리

가 에서 극값 (극대 혹은 극소)을 가지고 가 존재하면 이다.

[예제 1] 함수 는 에서 최소값(그리고 극소값)을 갖는다. 그러나 을 만족하는 를 구할 수 없다.

왜냐하면 은 존재하지 않기 때문이다.

[예제 2] 함수 은 일 때, 최대값을 갖지만 이다. 는 극대값이 아니다.

왜냐하면, 수 은 의 정의역 내의 개구간에 포함되지 않는다.

[정의 3] 임계수

혹은 가 존재하지 않는 의 정의역 내의 실수 를 의 임계수(critical number)라 한다.

[예제 3] 의 임계수를 구하여라.

[풀이]

따라서 임계수는 -1/2 과 2이다.

[예제 4] 의 임계수를 구하여라.

[풀이]

그러므로 즉 이면 이고 일 때 는 존재하지 않는다. 따라서 임계수는 이다.

임계수의 용어를 사용하면 Fermat 정리는 다음과 같이 표현된다.

[정리 3] 가 에서 극값을 가지면, 는 의 임계수이다.

폐구간에서 연속인 함수의 최대값 또는 최소값은 극대값 혹은 극소값이거나 구간의 끝점에서의 값이다.

따라서 다음의 3단계 과정을 거쳐야 한다.

폐구간에서 연속인 함수 의 최대값 또는 최소값을 구하기 위하여

단계1. 내의 의 임계수에서의의 값을 구한다.

단계2. 와 의 값을 구한다.

단계3. 단계1, 단계2에서 가장 큰 값이 최대값이고 가장 작은 값이 최소값이다.

[예제 5] 의 최대값과 최소값을 구하여라.

[풀이]

의 임계수는 또는 이 임계수에서의 의 값을 구하면

구간의 끝점에서의 의 값들은 이 4개의 수를 비교하면 최대값은 이고,

최소값은 이다.

[예제 6] 가로가 24cm, 세로가 9cm 인 마분지의 귀를 정사각형 모양으로 잘라내어 직육면체 모양의 상자를 만들려고 한다.

상자의 부피가 최대가 되도록 만들었을 때 그 부피는 얼마인가?

[풀이] 를 귀에서 잘라내는 정사각형의 한 변의 길이라고 하고, V를 상자의 부피라고 하면

는 0 이상 4.5 이하이다. 임계수를 찾기 위하여

와 가 임계수이다. 그러나 9는 구간 에 있지 않다.

구간의 끝점에서의 의 값은

상자의 부피의 최대값은 일 때 이다.

[예제 11] 어떤 관광회사는 12명이 넘지 않을 경우에는 1인당 20,000원의 비용으로 단체관광을 하게 되고, 12명이 넘을

경우는 초과한 인원수당 1,000원씩을 감해준다. 즉 13명이면 19,000원이고 14명이면 18,000원에 관광을 하게 된다.

그러면 단체관광객의 수가 얼마일 때 회사가 최대의 수입을 얻게 되는가?

[풀이] 단체관광객의 수를 라고 하자. 12명을 넘게 되었을 때의 수입을 만원이라고 하면

이 된다. 의 정의역은 자연수이지만 이상 이하의 실수로 가정하자. 임계수를 구하기 위하여 도함수를 구하면

임으로 이 임계수이다. (만원) 이고 구간의 끝점에서의 의 값은

그러므로 일 때 수입이 최대가 되고 이 값은 실제 정의역의 수, 즉 자연수이므로 최대값이 된다.

연습문제 3.1

※ 다음 문제에서 임계수를 찾고 최대, 최소값 및 극대 극소값을 구하여라.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11. 음이 아닌 정수로서 합이 10 이고 곱이 최대가 되는 두 수를 구하여라.

12. 200 feet 의 철조망으로 직사각형 모양의 담을 만들 때 내부의 면적이 가장 클 경우의 면적을 구하여라.

13. 한 변이 24 cm 인 마분지의 귀를 정사각형 모양으로 잘라내어 부피가 최대가 되도록 상자를 만들 때 상자의 부피는

얼마인가?

14. 어느 트럭이 시속 mile 로 달릴 때 유지비는 원이고, 시간당 운전수의 임금은 원이다.

속도 제한이 mile/hour 일 때 mile을 운행하기 위한 가장 경제적인 속도를 구하여라.

3.2 평균값정리

[정리 1] Roll의 정리

함수가 다음 세 가지 가정

1.는 폐구간 에서 연속이다.

2.는 개구간 에서 미분가능이다.

3. 를 만족하면인 가내에 존재한다.

[예제 1] 에서 정의돤 함수 가 Rolle 의 정리를 만족하는 점을 구하시오.

[풀이] 는 에서 연속이고은의 모든 점에서 존재한다. 그리고이므로

는 Rolle 의 정리를 만족한다. 따라서

이고 이므로 구하는 점은

[정리 2] 평균값 정리

함수가 다음 가정들

1.는 폐구간 에서 연속이다.

2.는 개구간에서 미분 가능이다.

를 만족하면

를 만족하는 가 에 존재한다. 혹은

[예제 2] 에서 정의된 함수 에 대하여 평균치 정리에 의하여 존재하는 점 를 구하여라.

[풀이]

따라서

되는 점을 구하면 이다.

[예제 3] 에서 정의된 함수 에 대하여 평균치 정리가 성립하지 않음을 보이고 그 이유를 설명하여라.

[풀이]

따라서

로 두면

이다. 하지만 는 상의 점이 아니다. 여기에서의 문제는 함수가 상의 어떤 점에서는 미분가능이

아니기 때문이다. 실제로 은 존재하지 않는다.

[정리 3] 만약 구간내의 모든 에 대하여 이면 는 에서 상수이다.

[따름정리 4] 모든 에 대하여이면 는 에서 상수 즉, 이다.

여기서 는 상수이다.

[예제 4] 대기 중에 떠있는 풍선의 위치는으로 표현된다고 하자. 에서 동안 날아간 풍선의

평균 속도와 순간 속도가 같은 시간을 구하여라.

[풀이] 풍선의 평균 속도는

이고 임의의 시간 에서의 순간 속도는

이다. 따라서 평균 속도와 같은 시간을 구하기 위하여 이라 놓고 를 구하면 이다.

[예제 5] 이고 모든 에 대하여 라고 하자. 이때 의 값으로 가능한 가장 큰 값은 무엇인가?

[풀이] 는 모든 값에서 미분가능(따라서 연속)이므로 구간 에서 평균값 정리를 적용할 수 있다. 그러면

인 가 존재한다. 따라서

모든 에 대하여 이므로 위의 부등식 양변에 2를 곱하면, 그러므로

이다. 의 값으로 가능한 값 중 가장 큰 값은 7 이다.

연습문제 3. 2

※ 문제 1~4에서 Rolle 의 정리를 만족하는 수 를 모두 구하여라.

1.

2.

3.

4.

※ 문제 5~9에서 평균값정리의 결과를 만족하는 수 를 구하여라.

5.

6.

7.

8.

9.

10. 방정식 이 정확히 하나의 실근을 가짐을 보여라.

11. 이고 에서 인 함수 에서 가 가질 수 있는 가장 작은 값을 구하여라.

12. 에 대하여 임을 보여라.

3.3 함수의 그래프: 단조성과 오목성

[정의 1] 단조함수

함수 가 임의의 구간 에서 정의되어 있다고 하자.

1. 구간 에서 일 때, 이면 함수 는 구간 에서 증가함수라 한다.

2. 구간 에서 일 때, 이면 는 감소함수라 한다.

3. 구간 에서 증가 또는 감소 함수일 때 는 단조함수라 한다.

[예제 1] 함수 은 에서 감소이고 에서 증가이다.

그러므로 는 그리고 에서 단조함수이다. 그러나 에서는 단조함수가 아니다.

[정리 1] 단조함수 판정법

함수 가 에서 연속이고,에서 미분가능이라고 가정하자.

(a) 모든에 대하여,이면는 에서 증가함수이고

(b) 모든에 대하여,이면는 에서 감소함수이다.

[예제 2] 함수 이 증가하는 구간과 감소하는 구간을 구하여라.

[풀이]

는 임계수이다.

과 는 -축을 세 개의 구간 및 로 나눈다. 구간 및 에서는이고,

구간 에서는 임을 알 수 있다. 따라서 구간 및에서는 는 증가하고 구간 에서는

는 감소한다는 것을 알 수 있다.

[예제 3] 는 임의의 구간에서 증가함을 보여라.

[풀이] 이고 이므로, 모든 에 대해서이다. 따라서 는 임의의 구간에서

증가 한다.

[정리 2] 1계 도함수 판정법

는 에서 연속이고 는 의 임계수라고 가정하자.

(a)에 대해 이고 에 대해 이면 는 에서 극대값을 갖는다.

(b)에 대해 이고 에 대해 이면 는 에서 극소값을 갖는다.

(c) 만약이 에서 부호가 변하지 않으면 는 에서 극값을 갖지 않는다.

[예제 4] 의 극값들을 구하라.

[풀이]

일 때, 즉 일 때, 이다. 또한 일 때 는 존재하지 않는다.

따라서 임계수는 와 이다.

[정의 2] 오목성

함수 의 그래프가 구간 에서 모든 접선보다 위에 놓여 있을 때, 함수 는 위로 오목이라 한다. 함수 의 그래프가

구간 에서 모든 접선보다 아래에 놓여 있을 때, 함수 는 아래로 오목이라 한다.

[정리 3] 오목성의 판정법

는 구간 에서 두 번 미분가능이라고 가정하자.

(a) 모든에 대해이면의 그래프는에서 위로오목하다.

(b) 모든에 대해이면의 그래프는에서 아래로오목하다.

[정의 3] 변곡점

곡선상의 점 에서 곡선이 아래로 오목에서 위로 오목으로, 또는 위로 오목에서 아래로 오목으로 변할 때 점 를

변곡점이라고 한다.

[예제 5] 의 변곡점을 구하여라.

[풀이]

이고

임으로 에서 이 이다. 그런데 과 에서 이므로 는 이 구간에서 아래고 오목이다.

그러므로 은 변곡점이 아니다. 같은 방법으로 하면 은 의 변곡점이다.

[예제 6] 곡선 이 위로 오목, 아래로 오목인 곳을 결정하여라. 또 변곡점을 구하라.

[풀이] 으로 놓으면

일 때 이므로 임계수는 이다.

그러므로 는 구간 그리고 에서 증가하고 구간 에서 감소한다. 1계도함수 판정법에 의하여

은 극대값이고 은 극소값이다. 오목성을 결정하기 위하여 2계 도함수를 계산하면

따라서일 때이고일 때이다. 오목성에 대한 판정법에 의하여 곡선은에서 아래로

오목이고 에서 위로 오목이다. 일 때 아래로 오목에서 위로 오목으로 변하므로 점이 변곡점이다.

[정리 4] 2계 도함수 판정법

함수 은 를 포함하는 개구간에서 연속이라 하자.

(a) 이고 이면 는 에서 극소값을 갖는다.

(b) 이고 이면 는 에서 극대값을 갖는다.

[예제 7] 의 극값과 변곡점을 구하시오.

[풀이]

따라서

그리고

그런데

이므로 에서 극대값은 , 이므로 에서 극소값은 를 얻는다.

변곡점을 찾기 위해 이 되는 점을 구하면 이다. 그런데이고이다.

즉 의 근방에서 의 부호가 바뀌므로 은 변곡점이다.

[예제 8] 곡선 의 오목성, 변곡점, 극값에 대하여 논하여라.

[풀이] 이면

임계수를 얻기 위하여 이라 두면 을 얻는다. 2계 도함수 판정법을 이용하면

이고 이므로 은 극소값이다. 이므로 2계도함수 판정법을 이용할 수 없다.

그러나 인 에 대하여 이므로 1계 도함수 판정법에 의하여 는 에서 극값을 갖지 않는다.

점 에서 곡선은 위로 오목에서 아래로 오목으로 변하므로 은 변곡점이다. 역시 점 에서 곡선이 아래로

오목에서 위로 오목으로 변하기 때문에 점 은 변곡점이다.

연습문제 3.3

※ 문제 1~4에서 주어진 함수가 증가 또는 감소하는 구간들을 구하여라.

1.

2.

3.

4.

※ 문제 5~8에서 주어진 함수의 극대 및 극소값, 그리고 최대 및 최소값을 구하고 그래프를 그려라.

5.

6.

7.

8.

※ 문제 9~10에서 위로 오목한 구간을 구하여라.

9.

10.

※ 문제 11~12에서

11.

12.

(a) 증가 또는 감소하는 구간들을 구하여라.

(b) 극대 및 극소값을 구하여라.

(c) 오목한 구간을 구하여라.

(d) 변곡점의 좌표를 구하여라.