정의 2.1.1 구간 
에서 정의된 함수 
에 대해서 이상적분(singular integration)
가 수렴할때, 그 극한을 
의 Laplace변환(Laplace transformation)이라 하고
기호로는
로 표시한다.
예제 2.1.1 다음 함수의
Laplace변환을 구하여라.(단, 
는 상수이다.)
(1) 
.
(2) 
(3) 
: 자연수)
(4) 
(5) 
(6)
(7)
(8)
풀이
(1) 
(2) 
두면,
(3) (2)와 유사한 방법과 수학적귀납법을 이용하여
(4) 
일 때
(5) 
일 때
따라서
이므로
(6) (5)와 유사한 방법으로
(7) 
$s> |k|$
--> 일 때
(8) (7)과 유사한 방법으로
정의 2.1.2 유계 폐구간
에서 정의된 함수 
가 연속이거나 또는 증가하는 수열 
이 존재해서
가 각각의 부분구간 
에서 연속이고 부분구간의 끝점들에서 유한인 극한을 가질 때, 함수 
를
구분적 연속함수(piecewise continuous)라고 한다.
구간 
에서 정의된 함수 
가 임의의 유계 폐구간에서
구분적 연속함수일 때, 
를 구간 
에서 구분적 연속함수라고 한다.
정의 2.1.3 구간 
에서 정의된 함수 
에 대해서 
보다 큰 임의의 
에 대해서
를 만족시키는 상수 
보다 큰 상수 
가 존재할 때, 
는 지수적 차수(expotential order) 함수라고 한다.
적당한 상수 
에 대해서 극한
를 계산해서 함수 
가 지수적 차수함수임을 보일 수 있다. 만일 
이 유한값이면 
는 지수적 차수함수가 되고,
그렇지 않으면 
는 지수적 차수함수가 아니다.
예제 2.1.2 
는 지수적 차수함수임을 보여라.
풀이 L'hopital정리를 반복 사용하면
따라서 
는 지수적 차수함수이다.
예제 2.1.3 
는 지수적 차수함수임을 보여라.
풀이 
임으로
는 지수적 차수함수이다.
정리 2.1.1 구간 
에서 정의된 함수 
에 대해서, 
가 구분적 연속함수이고, 지수적 차수함수이면 
의
Laplace변환이 존재한다. 즉 적당한 
가 존재해서 
인 
에 대해서 
가 존재한다.
증명 
가 지수적 차수함수이므로 상수 
와 
보다 큰 상수 
가 존재해서
를 만족한다.
에서 우변의 첫번째 적분은 
의 연속성과 
의 구분적 연속성에 의해서 존재한다. 우변의 두번째 적분은
다음의 사실에 의해서 존재한다.
따라서 모든 
에 대해서 가 존재한다.
주의
1. 위의 정리의 증명에서
임을 알 수 있다.
2. 
가 구분적 연속함수이고, 지수적 차수함수이다는 조건은 Laplace변환의 존재에
대한 충분조건이지
필요조건은 아니다. 함수 
에서 구분적 연속함수가 아니지만, 
의 Laplace변환이 존재함을
알 수 있다. (연습문제 2.5.13번 참조)
정리 2.1.2 
이면
(1) 
(2) 
증명
(1) 
(2) 
연습문제 2.1
1. 다음 함수의 Laplace변환을 구하여라.
(1) 
(2) 
(3) 
(4) 
(5) 
(6) 
(7) 
(8) 
2. Gamma함수는 다음과 같이 정의된다.
일 때
임을 보여라.
3. 
에서 구분적 연속이 아닌 함수 
의 Laplace변환을 구하여라.
(답:
)
4. 다음 함수의 Laplace변환을 구하여라.
(1) 
(2) 
