1 .4.2 멱급수해

1.4.2.1 멱급수의 성질

(4.4)                            

이와같은 형태의 급수를 에 관한 멱급수(a power series about )라 부른다. 여기서 는 변수이고 들은 상수이며

들을 멱급수 (4.4)의 계수라 한다. 멱급수 (4.4)는 가 어떤 값을 취하는가에 따라 수렴하기도 하고 발산하기도 한다.

멱급수가 수렴하는 모든 의 범위를 수렴구간 또는 수렴역이라 하는데 멱급수 (4.4)는 0| 에서 수렴하고,  

에서 발산할 경우 양의 실수 을 수렴반경이라 한다.

정리 4.2.1   멱급수 (4.4)에 대하여 이 존재한다고 하자

(1) 이면 이 급수는 수렴하고 수렴반경은 이다.

(2) 이면 이 급수는 발산한다.

(3) 이면 멱급수는 일반급수이므로 일반급수판정법에 의하여 결정된다.

    (  일때 수렴하면 수렴역은 이고 일 때 수렴하고    일때 발산하면

     수렴역은 이며 일때 발산하고 일때 수렴하면 수렴역은    

    이다. 마찬가지로 일때 발산하면 수렴역은 이다.)

예제 4.2.1  멱급수   의 수렴반경 및 수렴구간을 구하라.

풀이   이라 두면

즉, 수렴반경은 이다.

에서 주어진 급수는 수렴하지만 이구간의 끝점에서의 수렴여부는 별도로 판정해야 한다.

일때 주어진 급수는

이 급수는 인 급수이므로 발산한다.  

일때 주어진 급수는

이고 교대급수판정법에 의하여 수렴한다. 그러므로 주어진 멱급수의 수렴구간은

예제 4.2.2    멱급수 의 수렴반경 및 수렴구간을 구하라.

풀이   이라 두면

즉, 수렴반경은 3이다.

인 의 구간 즉  (-5, 1)에서 주어진 급수는 수렴하지만 이 구간의 끝점에서의 수렴여부는

별도로 판정해야 한다.

일때 즉   일때 주어진 급수는

이고 발산판정법에 의하여 발산한다.

  일때 즉   일때 주어진 급수는

이고 발산판정법에 의하여 발산함을 알 수 있다. 따라서 주어진 급수의 수렴역은  (-5, 1)이다.

     멱급수   은 주어진 급수가 수렴하는 모든 들의 집합을 정의구역으로 하는 함수이다.

즉

이 함수 는 다항식의 형태이다. 다만 차이점은 는 무한개의 항을 가지고 있다는 것이다. 그러므로 다항식에 대해서

미분과 적분을 시행하는 방법과 마찬가지로 멱급수의 각 항들은 개별적으로 미분하거나 적분함으로써 멱급수에

대해서도 미분과 적분을 시행할 수 있다. 이러한 방법을 항별미분과 항별적분(term by term differentiation and integration)

이라 부른다.  따라서 우리는 다음 정리를 얻을 수 있다.

정리 4.2.2   멱급수 (4.4)의 수렴반경이 일때

으로 정의되어진 함수는 구간   에서 미분가능하고

(1)    

(2)   

이 성립하며 (1), (2)에서 얻어진 멱급수들의 수렴반경 역시 이다.

     이제 멱급수로 나타낼 수 있는 함수와 그 멱급수를 구하는 방법을 알아보자.

함수 가 멱급수로 나타낼 수 있는 임의의 함수라고 하고

(4.5)                       

이라 놓는다. 식 (4.5)에 를 대입하면 이다.

식 (4.5)에 정리 4.2.2를 적용하여

(4.6)                      

을 얻고   를 식 (4.6)에 대입하면   이다.

이와같은 방법을 계속 시행함으로써

(4.7)                    

을 얻을 수 있으므로,   를 식 (4.7)에 대입하면 이다.

마찬가지 방법으로

을 얻는다. 멱급수의 계수   에 관해 풀면

를 얻게 된다.

정리 4.2.3   함수   가   에서 멱급수로 전개되면

(4.8)                         

식 (4.8)을 함수 의 에서의 Taylor 급수라고 부른다.

특히 일때 Taylor 급수는 다음과 같이 표현된다.   

(4.9)                      

식 (4.9)를 특히 Maclaurin 급수라고 부른다.

      함수 가   에서 멱급수로 전개될 수 있다면 이러한 함수를 에서 해석적(analytic)이라 부른다.

정리 4.2.3으로부터 해석함수는 에서 무한번 미분가능하다. 그러나 무한번 미분가능한 함수일지라도

해석적이 아닌 함수가 있다. 이러한 함수는 이 함수의 Taylor 급수와 같지 않다.

여기서 몇가지 중요한 Maclaurin 급수를 소개하겠다.

정리 4.2.4   

1.  

2.  

3.  

4.  

     사실 이므로 정리 4.2.2에 의하여 의 멱급수를 미분하여 의 멱급수를 바로 구할 수 있다.

또   이므로   의 멱급수에 에 를 대입하여

를 쉽게 구할 수 있다. 이처럼 정리 4.2.4의 4개의 함수에 대한 Maclaurin 급수를 응용하여 다른 함수들의 Maclaurin 급수를

간단히 구할 수 있다.

예제 4.2.3  다음 함수들의 Maclaurin 급수를 구하라.

(1)   

(2)   

(3)   

풀이  

(1)    

(2)     

(3)    이므로 의 멱급수를 이용하면

                                                                  연습문제 1.4.2.1

1. 다음 급수의 수렴반경 과 수렴구간을 구하라.

(1)                                                  (답: )

(2)                                                       (답: )

(3)                                                 (답: )  

(4)                                              (답: )       

2. 다음 함수를 멱급수로 나타내어라.

(1)                                                      (답: )

(2)                                          (답: )   

(3)                                              (답: )

(4)                                             (답: )

(5)                                               (답: )

(6)                                                (답: )

1.4.2.2 정상점에 대한 해

     계 동차선형미분방정식         

(4.10)                  

에 대하여 해가 멱급수 로 나타난다고 가정하고, 이 멱급수가 해가 되도록 미정계수 을 결정한다.

식 (4.10)의 표준형

(4.11)                       

를 생각하자. 여기서

이다. 이 경우 가 모두   에서 해석적이면 즉, 가 모두 양의 수렴반경을 갖는

의 멱급수를 가지면 점 를 방정식 (4.10)의 정상점(ordinary point)이라 하고, 정상점이 아닌 점을 그 방정식의

특이점(singular point)이라 한다. 다항식 계수(polynomial coefficients)를 갖는 경우, 만약 가

공통인수를 갖지 않는 다항식일 때 이면 는 정상점이고 이면 는 특이점이다.

예를 들어 인 미분방정식에 대하여 이 되는 는 특이점이다. 그리고 특이점은 반드시

실수이어야 할 필요는 없다.

인 미분방정식에서 의 모든 유한값은 정상점이다.

그러나 인 미분방정식에서 가 의 멱급수를 갖지 않으므로 는 특이점이다.

정리 4.2.5    가 방정식 (4.10)의 정상점이면 형식 인 개의 상이한 멱급수를 구할 수 있다.

을 가장 가까운 특이점까지의 거리라고 할때 급수해는 적어도 에 대해서 수렴한다.

      주목할 것은 편리를 위해 정상점 을 에 위치하도록 한다. 만일 이면 로 치환하여 에 대해서

로 이동시킬 수 있기 때문이다. 즉 급수해의 형식을 으로 하여 구하면 된다.

그렇다면 이제 식 (4.10)의 멱급수 해를 구하는 방법을 알아보자.

가 식 (4.10)의 정상점이면 의 멱급수의 형태

(4.12)                                               

인 해가 존재한다고 가정하고서 식 (4.12)가 식 (4.10)을 만족하는 함수가 되도록 계수 을 결정하는 것으로 이 방법은

미정계수법과 비슷하다.

항별미분하여 식 (4.12)를 식 (4.10)에 대입하여 총합의 첨수가 같은 값에서 출발하도록 하고 각 합에 있어서 의

멱의 수치값이 같도록 한다.

이해를 돕기 위하여   인 경우, 즉 2계 선형미분방정식

(4.13)                                         

에 대하여 구체적으로 설명해 보기로 하자. 식 (4.13)을 표준형

(4.14)                                         

로 변형했다고 하자. 구체적인 설명을 위해 인 경우에 대해 멱급수를 구해보자. 즉

(4.15)                                             

인 미분방정식을 생각하자. 가 식 (4.15)의 정상점이고 특이점이 없으므로 정리 4.2.5에 의하여 에 대해서

수렴하는 멱급수 형식   인 해가 존재한다고 가정할 수 있다.

을 결정하기 위해 항별 미분하여

를 (4.15)에 대입하면        

(4.16)             

을 얻는다. 식 (4.16)의 세 급수를 더하되, 세 총합의 첨수가 같은 값에서 출발하게 하고 각 합에서 의 멱의 수치값이

같도록 한다. 이렇게 하기 위하여 식 (4.16)을 다음과 같이 쓴다.

(4.17)            

이다. 따라서 계수비교하면

(4.18)                                  

을 만족해야 한다. 방정식 (4.18)을 를 결정하는 순환관계식(recurrence relation)이라 한다.

의 모든 첨수값에 대하여 이므로 식 (4.18)은

이다. 이것에 부터 대입하여 반복사용하면

을 얻게 된다. 위의 순환관계식을 살펴보면   임을 알 수 있다. 따라서

여기서 와 은 임의의 상수이다.

이므로 일반해는

예제 4.2.4  다음 미분방정식을 풀어라.

풀이    은 주어진 미분방정식의 정상점이고   가 특이점이므로 정리 4.2.5에 의해 에 대해서 수렴하는 형식이

인 두 해가 존재함을 알 수 있다.

이므로        

으로 멱의 수치를 같게 한다.

따라서     

반복계산하면

을 얻을 수 있으며 여기서 은 임의의 상수이다. 따라서

이므로 일반해는

                                                              연습문제 1.4.2.2

1. 다음 미분방정식의 멱급수해를 구하라.

(1)

 ( 답:

 (2)         ( 답: )

(3)  

 ( 답:

(4)               

 ( 답:

(5)                    

 ( 답:

1.4.2.3 특이점에 대한 해

      계 동차미분방정식                                     

(4.19)                      

의 계수 는 어떤 점 에서 해석적이 아니지만 는 에서 해석적일때 을

정칙특이점(regular singular point)이라 하고 정칙특이점 이 아닌특이점을 비정칙특이점(irregular singular point)이라 한다.

즉 식 (4.19)의 계수가 공통인수를 갖지 않는 다항식일 때 이라 하고 의 분모에 인수 가 최고

1차멱승으로 나타나고 의 분모에 인수 가 최고 2차멱승으로 나타나며, 의 분모에 인수 가

최고 차멱승으로 나타나면 는 정칙특이점이다.예를 들어 미분방정식

는 에서 특이점을 갖는다. 그리고 이 방정식을

로 변형하여 와 를 살펴보면 인수는 의 분모에서 1차멱승이고 의 분모에서도

1차멱승이므로 는 정칙특이점이다. 인수는 의 분모에서 1차멱승, 의 분모에서 2차멱승이므로 도

정칙특이점이다.

      의 미분방정식의 경우

로 변형시켜보면

이므로 인수는 의 분모에 2차멱승이므로   는 비정칙특이점이고 인수는 의 분모에 모두

1차멱승이므로 은 정칙특이점이다.

예제 4.2.5    다음 미분방정식에서 특이점이 있으면 찾아 정칙특이점인지 비정칙특이점인지 조사하라.

(1)

(2)

(3)

풀이    

(1) 의 꼴로 변형시켜보면 이므로 는 정칙특이점이다.

(2) 의 꼴로 변형시켜보면 이므로 는 정칙특이점,

     그리고 도 정칙특이점이다.

(3) 의 꼴로 변형시켜보면 이므로 는 비정칙특이점이다.

     또한 특이점은 복소수일 수도 있다. 예컨데

의 미분방정식은

의 꼴로 변형시킬 수 있고

이므로 는 정칙특이점이다.

      식 (4.19)과 같은 미분방정식을 정칙특이점에 대해 풀려고 하면 Frobenius  방법을 적용한다.

정리 4.2.6    가 방정식 (4.19)의 정칙특이점이면 형식이

인 급수해가 적어도 하나 존재한다. 여기서 은 결정해야할 상수이고 이 급수는 어떤 구간 에서 수렴한다.

      앞 절에서와 같이 간단하게 하기 위하여 이라 가정하자. 구체적으로 정칙특이점에 대한 급수해를 구하는

Frobenius method를 알아보기 위하여 2계미분방정식

(4.20)                                               

의 해를 구해보기로 하자.

는 식 (4.20)의 정칙특이점이므로 급수해 형식이

이라 가정하자.

이므로

이것으로부터

이 성립한다.

(4.21)                                                          

가 된다.

(4.22)                                        

이다. 식 (4.21)을 만족하는 은 와 이다. 이것을 식 (4.22)에 대입하면 두 가지 서로 다른 순환관계식 :

(4.23)                                         

(4.24)                                        

를 얻는다. 식 (4.23)을 반복하면

이고 한편 식 (4.24)를 반복하면

이다. 따라서 두 급수해

을 얻는다. 이들 두 급수는 서로의 상수배가 아님은 명백하므로   는 1차독립인 해이고 따라서 일반해는

위에서 언급한 예는 Frobenius의 방법을 사용하는 일반적인 과정을 설명한 것이지만 반드시 두 해가 쉽게 구해지는

것은 아니다.   이 가질 수 있는 값의 여러 형태에 따라 달라진다.

     방정식 (4.21)을 미분방정식 (4.20)의 결정방정식(indicial equation)이라 하고 와 을 특이점의

결정근(indicial root) 또는 지수(exponent) 라고 한다.

     일반적으로 가 미분방정식 (4.19)의 정칙특이점이면 을 식 (4.19)에 대입한 후 간단히

하면 에 관한 2차방정식인 결정방정식을 얻을 수 있다. 일반적으로 결정방정식은

(4.25)                                               

이며 여기서 는 의 전개식, 즉 의 상수항이며,

는 의 전개식, 즉   의 상수항이 됨은 계산에 의해 쉽게 알 수 있다.

이처럼 에 대한 2차방정식인 결정방정식을 풀어 이들 값을 순환관계식에 대입하여 멱급수해를 구한다.

Frobenius의 방법을 사용하는 경우 결정근의 성질에 따라 3가지 경우로 나누어서 생각할 수 있는데, 2계 미분방정식

(4.26)                                         

에 관하여 생각해 보기로 하자.   과 를 결정방정식의 실수해라고 하고 라고 가정하자.

[ 경우 I ] 서로 다른 두 근 의 차가 정수가 아닌 경우:

     2개의 일차독립인 해  

가 존재하여 일반해는

[ 경우 II ] 서로 다른 두 근   의 차가 정수인 경우, 즉 인 경우 :

2개의 일차독립인 해는  

의 형태로 존재하여 일반해는

[ 경우 III ] 두 근이 같은 경우, 즉   인 경우 :

2개의 일차독립인 해가  

의 형태로 존재하여 일반해는

     경우 II와 경우 III을 보면 둘째 해는 대수해를 포함할 수 있고 또 포함하고 있다. 실제로 이것은 미리 알고 있지 못한 것이나

결정근을 구하고 계수   을 구할 수 있는 순환관계식을 주의깊게 음미함으로써 얻을 수 있다.

만일 둘째 급수해를 구할 수 없는 경우에는 제 1.3.2절의 기지해를 이용한 두번째 해의 구성에서 언급했듯이                                      

(4.27)                                                

에 의해 알려진 을 이용하여 구할 수 있을 것이다.

예제 4.2.6    의 멱급수해를 구하라.

풀이    는 주어진 미분방정식의 정칙특이점이다.

이라 하면

이것으로부터

이고   로 서로 다른 결정근 의 차도 정수가 아니다.

인 경우 순환관계식

으로부터      

이 성립한다. 따라서 하나의 급수해는

한편   인 경우 순환관계식은

이므로

을 얻을 수 있다. 따라서

는 1차독립인 해이므로 일반해는

예제 4.2.7    의 멱급수해를 구하라.

풀이    는 주어진 미분방정식의 정칙특이점이다.

을 주어진 미분방정식에 대입하면

이므로 결정방정식 에서 결정근 을 얻고 순환관계식

을 얻는다.    

인 경우

로부터      

이 성립한다. 따라서 하나의 급수해는

한편 인 경우 순환관계식은                              

(4.28)                        

로 된다. 그런데 은 일 때 이기 때문에 로 나누어서는 안된다. 하지만 에 대해서는

순환관계식 (4.28)을 사용하면 된다.

따라서

부터는 순환관계식

따라서

즉, 는 1차독립인 해가 아니다. 다시 말하면 Frobenius의 방법은 주어진 미분방정식에 대한 오직 하나의 해

즉, 만을 주었음을 알 수 있다. 식 (4.27)을 사용하여 둘째해를 구해보자.

여기서 이므로

이다. 따라서

따라서

이고 일반해는

여기서 이다.

예제 4.2.8    의 멱급수해를 구하라.

풀이   는 주어진 미분방정식의 정칙특이점이다.

을 주어진 미분방정식에 대입하자.

이므로

       분명히 는 중근이므로 위의 순환관계식의 반복에 의하여 결정되는 계수에 대응하는 하나의 해만을 얻을수 있다.

을 대입하면 순환관계식은

이므로        

따라서                               

(4.29)                              

이다. 둘째 해를 구하기 위해 식 (4.29)에 이라 놓고 식 (4.27)을 사용한다.

즉

이다. 따라서 일반해는

이고, 여기서 는 식 (4.29)에서 정의되었다.

                                                          연습문제 1.4.2.3

1. 다음 미분방정식의 멱급수해를 구하라.      

(1)                          

 (답: )

(2)                             

 (답:

(3)                           

 (답:

(4)      

 (답: