$$ 1.4 변수계수 고계 미분방정식 및 응용

1.4.1 Cauchy-Euler 방정식

정의 4.1.1  변수계수 미분방정식

(4.1)                            

를 Cauchy-Euler 방정식이라 한다. 여기서 는 상수이다.

 

      Cauchy-Euler 방정식의 특성은 다항식 계수 이 항  ( )의 미분계수(order)와 일치한다는 것이다.

      우선 인 경우, 즉 2계 미분방정식

(4.2)                                               

인 경우부터 생각해 보기로 하자.

       인 비동차인 경우의 일반해는 마찬가지로   인 동차방정식의 일반해 와 경수변화법에 의해 구해지는

특수해   의 합으로 나타날 것이다. 그러므로 우선 인 동차방정식의 일반해를 생각해 보자.

해의 형식은 이라고 하고 이것이 해가 되도록 을 결정하자.

                                                          

이므로 미분방정식 (4.2)는

                            

로 되고 이 보조방정식                                           

(4.3)                          

의 해일 때   은 주어진 미분방정식의 해가 될 것이다.

      식 (4.3)은 에 관한 2차방정식이므로 서로 다른 두 실근, 중근, 복소수근의 3가지 경우로 나누어서 생각해야 할 것이다.

[ 경우 I ] 서로 다른 두 실근을 가지는 경우 :

보조방정식 (4.3)이 두개의 서로 다른 실근   을 가진다면 가 기본해집합을 이룰 것이고

따라서 일반해는

                                                                    

 

[ 경우 II ] 중근을 가지는 경우 :

보조방정식 (4.3)이 중근 을 가진다면 제 1.3.2절에서처럼 을 이용하여 나머지 1차독립인 해 를 구해야 한다.

먼저 Cauchy-Euler 방정식 (4.2)를  

                                                              

의 형식으로 고쳐보자.

한편 중근을 가지므로 2차방정식 의 판별식은 반드시 0 --> 이다.

따라서 근의 공식으로부터 근은 이다. 이제 제 1.3.2절에서 배운 방법을 사용하여 두번째 해 를 구한다.

                                          

                                             

따라서 일반해는

                                                                 

　

[ 경우 III] 복소수근을 가지는 경우 :

보조방정식 (4.3)이 복소수근 를 가진다면 해는 이므로

                                                               

이다.  Euler 공식에 의하면

                                                         

이므로

                                             

                                               

                                               

가 미분방정식의 기본해집합을 이룸은 쉽게 알 수 있다. 따라서 일반해는

                                                     

 

예제 4.1.1   다음 미분방정식을 풀어라.

(1)  

(2)  

(3)  

풀이

(1) 을 대입하여 보조방정식

                                               

을 얻는다.   이므로 일반해는

                                                                    

(2) 을 대입하여 보조방정식

                                             

을 얻는다.   이므로 일반해는

                                                                  

(3) 을 대입하여 보조방정식

                                          

을 얻는다.   이므로 일반해는

                                                                

 

    또한 Cauchy-Euler 방정식의 또 다른 해법으로는 독립변수 의 변수변환을 통하여 상수계수의 선형미분방정식으로

변형시킨 후, 상수계수 선형미분방정식의 해법에 따라 해를 구할 수 있다. 즉, 로 변수변환하면 이므로

                            

                           

를 대입한다.

                               

즉

                                                 

의 상수계수 선형미분방정식으로 변환되고 일반해를 구할 수 있다.

              

예제 4.1.2    를 풀어라.

풀이    로 변수변환하자.   이므로

                                                                    

를 간단히 하면

                                                         

의 상수계수 선형미분방정식을 얻는다. 우선

                                                                                              

의 일반해 를 구하기 위하여 보조방정식   로 부터

                                                               

특별해 를 구하기 위하여 미정계수법을 사용하기로 하자.

  를 0으로 만드는 미분연산자는   이므로 이 미분연산자를 양변에 적용시키면

                                                     

의 동차방정식이 얻어진다. 이 방정식의 보조방정식 로 부터

                                                 

이므로 특수해는

                                                        

이다.

                                              

                                                 

                                           

                                                

이므로 이것을 를 구하기 위하여 주어진 미분방정식에 대입하자.

                                

                                                      

                                                  

따라서   이므로    이다.  따라서

                                                      

그러므로 주어진 미분방정식의 일반해는

                                                   

  이므로

                                                  

 

      일반적으로   계 Cauchy-Euler 방정식

                                                                

을 풀려면 마찬가지로 y=x^m -->  을 대입하여 보조방정식을 얻는다. 이때의 보조방정식은 에 관한   차방정식이 될 것이고

이 실근, 중근, 복소수근의 경우 그리고 그들의 혼합의 경우에 따라 해의 모습은 결정이 될 것이다.       

(1) 모두 서로 다른 실근인 경우, 즉   경우 의 일반해는

                                                     

(2)   인 경우 의 일반해는

                                                   

(3)   인 경우의 일반해는

                           

(4) 인 경우의 일반해는

                                        

(5) 인 경우의 일반해는

                            

                                 

(6) 인 경우의 일반해는

                          

 

    이와 같이 여러가지 형태가 나올 수 있으며 어떤 경우가 나오더라도 보조방정식의 근 에 의해 결정되어 질 수 있다.

                 

예제 4.1.3  다음 미분방정식을 풀어라.

(1)  

(2)  

(3)  

풀이

(1) 을 대입하면 이므로

     으로 부터 보조방정식   을 얻는다.

   즉   이고   이므로 일반해는

                                                   

(2) 을 대입하여 보조방정식 을 얻는다. 즉  

   이고   이므로 일반해는

                                                  

(3) 을 대입하여 보조방정식

     로 부터   이다. 따라서 일반해는

                                                                

 

                                                                    연습문제 1.4.1

1. 다음 미분방정식의 일반해를 구하라.

(1)                                                    (답 : )

(2)                                                          (답 : )

(3)                                   (답 :

(4)                                              (답 : )

(5)                                                           (답 :   )

2. 다음 미분방정식의 일반해를 경수변화법을 이용하여 풀어라.    

(1)                                              (답 : )

(2)                                             (답 : )

(3)                                    (답 : )

(4)  

                                          (답 : )

(5)                                                (답 : )