1.3.5 응용

       수직으로 매달린 스프링이 있다고 하자. 이 스프링이 늘어나든지 또는 줄어들든지간에 길이의 변화는 스프링에

작용된 힘에 비례한다. 즉, 의 힘이 스프링에 작용하여 만큼 늘어났다고 하면

이다. 만약 스프링에 질량 인 물체를 매달아 스프링이 만큼 늘어났다고 하면 늘어난 다음에 그 무게는 복원력 에

의해 평형점에 도달한다. 그러므로 평형조건은

이다. 여기서 는 지구중력 가속도 이다.

      만약 이 물체를 아래 방향으로 평형점으로부터 만큼 끌어내렸다가 놓으면 힘 는 Newton의 제 2법칙에 의하여

이고 가속도 는   이다.

      저항력도 무시하고 다른 외부력의 영향없이 진동한다고 가정하면 는 무게와 복원력의 합과 같다.

여기서 음부호는 스프링의 복원력이 운동방향과 반대로 작용함을 나타낸다.

이므로   이고  2계 미분방정식

을 얻는다. 이 미분방정식을 단순조화 운동 (simple harmonic motion) 또는 자유비감쇠운동(free undamped motion)이라고 한다.

하지만 물체가 완전한 진공속에 매달리지 않으면 저항력은 있기 마련이다. 역학에 있어서 물체에 작용하는 감쇠력은 순간속도의

멱승에 비례하므로 이 감쇠력은 의 상수배수로 주어진다고 가정하자.

     다른 외부력이 가하여지지 않은 경우에는 Newton의 제 2법칙에 의하여

이고 여기서 는 양의 감쇠상수(damping constant)이고 음부호는 감쇠력이 운동의 반대방향으로 작용함을 나타낸다.

질량 으로 양변을 나누면

이고, 이 미분방정식을 자유감쇠운동(free damped motion)이라 한다.

       이제는 스프링에서 진동하고 있는 물체에 외부력 가 작용된 경우를 생각하자. 즉 는 스프링의 수직진동운동을

야기시키는 구동력(driving force)이다.

      Newton의 제 2법칙에 를 포함시켜야하므로

즉

이 2계 비동차선형미분방정식을 풀려면 미정계수법이나 경수변화법을 사용할 수 있을 것이다.

예제 3.5.1

(1) 수직으로 달려있는 스프링 상수 인 스프링에 무게가 인 물체를 매달고 밑으로 잡아당겼다가 놓았을 때

    이 물체의 운동은 어떻게 되겠는가? (단, 공기저항은 무시한다.)  

(2) 만약 매체가 의 저항을 준다면 이 물체의 운동은 어떻게 되겠는가?  (단, 는 이다)

풀이 

(1) 물체의 중점을 원점으로 하고 를 시각 에서의 물체의 변위라 하자. 원점으로부터 밑으로 잰 길이를 양수로 하면 이때의

   운동방정식은 다음과 같다.

따라서 보조방정식 로부터 이므로

이고 로 미분하면

이다.   일 때 이므로   . 따라서 이다.

결론적으로 이 운동은 진폭 주기 인 운동이다.

(2) 매체의 저항이 이므로 운동방정식은

즉,

이다.

보조방정식 로부터 이고 이다.

양변을 로 미분하면

이다. 한편 일 때 이므로

로부터 이다. 따라서 로 진동운동은 아니다.

                                                           연습문제 1.3.5

1. 질량 의 스프링 상수 인 스프링에 매달고 정지시켰다. 여기에 의 강제력을 가했을 때 운동방정식을 구하라. (단, 여기서 저항력은 무시한다.)         

 (답: )

2. 질량 의 물체를 스프링에 매달았더니 스프링이 늘었다. 이제 스프링의 상단에 의 운동을 줄때, 공기저항을 무시하고 운동방정식을 구하라.        

(답: )