1.3.3 상수계수 동차 선형미분방정식
제 1.2 에서 1계 선형미분방정식
(
: 상수)은 지수함수해 
를 가진다는 것을 알았다.
와 같은 고계 선형미분방정식에 대해서도 알아보자.
우선 
인 경우, 즉
(3.14) 
인 경우부터 생각해보기로 하자.
인 해를 가정하면 
이므로 식 (3.14)는 
이고 
은 
이
아니므로 
로 양변을 나누면
(3.15) 
의 
에 관한 2차방정식을 얻을 수 있다. 방정식 (3.15)를 미분방정식 (3.14)의 보조방정식
(auxiliary equation) 또는
특성방정식(characteristic equation)이라 한다.
미분방정식 (3.14)의 해인
지수함수 
를 찾는 것은 보조방정식 (3.15)의 근이 되는 
을 구하는 문제가 될 것이다.
식 (3.15)는 
에 관한 2차방정식이므로 서로 다른 두 실근, 중근, 복소수근을 가지는
3가지 경우로 나누어서 생각해야 할 것이다.
[ 경우 I] 서로 다른 두 실근을 가지는 경우 :
보조방정식 (3.15)가 두 개의 서로 다른
실근 
과 
을 가진다면 두 해는 
와 
이다. 이 두 함수는
에서 1차독립이므로 기본해집합을 이룬다. 그러므로 
에서 (3.14)의 일반해는
(3.16) 
[ 경우 II] 중근을 가지는 경우 :
보조방정식 (3.15)가 중근 
을 가진다면 
에서처럼 
을 이용하여 나머지 1차독립인 해를 구해야 한다.
두 번째 해 
는 식 (3.13)에 의하여 구할수 있다.
보조방정식 (3.15)가 중근을 가지므로 판별식
이어야 하므로 
이다. 
이므로
을 (3.13)에 대입하면
로 된다. 따라서 (3.14)의 일반해는
(3.17) 
[ 경우 III] 복소수근을 가지는 경우 :
보조방정식 (3.15)가 복소수근 
를 가진다면 
이므로
이다.
Euler공식 
( 
: 실수)를 사용하여
로 된다. 
와 
는 
에서 주어진 미분방정식의 기본해집합이므로 일반해는
(3.18) 
예제 3.3.1 다음 미분방정식을 풀어라.
(1) 
(2) 
(3) 
풀이
(1) 보조방정식
로부터 
이므로 일반해는
(2) 보조방정식
로부터 
중근이므로 일반해는
(3) 보조방정식 
로부터 
이므로 일반해는
일반적으로 
계 미분방정식
(3.19) 
(여기서 
은 실수인 상수)
을 풀려면 
을 대입하여 얻어지는 보조방정식
(3.20) 
을 풀어야 하고 (3.20)의 근이 서로 다른 두 실근, 중근, 복소수근 또는 3 경우의 혼합으로 나타날 수 있다.
1. 모두 서로 다른 실근인 경우, 즉 
인 경우의 일반해는
2. 
인 경우의 일반해는
3. 
인 경우의 일반해는
4. 
인 경우의 일반해는
5. 
인 경우의 일반해는
6. 
인 경우의 일반해는
이와 같은 여러가지 형태가 나올
수 있으며 어떤 경우가 나오더라도 보조방정식의 근 
에 의해 결정할 수 있을 것이다.
예제 3.3.2 다음 미분방정식을 풀어라.
(1) 
(2) 
(3) 
(4) 
(5) 
풀이
(1) 보조방정식 
로부터
이므로 일반해는
(2) 보조방정식 
은 
로
인수분해되어 
이므로 일반해는
(3) 보조방정식 
로부터
이므로 일반해는
(4) 보조방정식 
로부터
이므로 일반해는
(5) 보조방정식 
로부터 
이므로 일반해는
연습문제 1.3.3
1. 다음 미분방정식의 일반해를 구하라.
(1) 
(답: 
)
(2) 
(답: 
)
(3) 
(답:
)
(4) 
(답: 
)
(5) 
(답: 
)
(6) 
(답: 
)
(7) 
(답: 
)
(8) 
(답: 
