1.3.2 선형미분방정식의 일반해

1.3.2.1 1차 종속과 1차 독립

정의 3.2.1  함수   의 집합을 구간 에서 1차종속 (linearly dependent)이라 하는 것은,

적어도 하나는 0이 아닌 상수   이 존재하여 구간   의 모든 에 대하여

을 만족한다.

정의 3.2.2  함수 의 집합을 구간 에서 1차독립 (lineary independent)이라 하는 것은,

1차종속이 아닐때이다. 즉,

일때, 1차독립이라고 한다.

      사실 적어도 하나는 이 아닌 상수   이 존재하여 라고 하자.

만약 라면 양변을 으로 나눌 수 있어

이므로 의 1차결합으로 표현되어진다. 즉, 1차종속이면 하나의 함수가 다른 함수의

상수배의 합으로 나타내어질 수 있음을 의미한다.

예제 3.2.1  두 함수 와 는 구간   에서 1차독립임을 보여라.

풀이  이라고 하자.   일 때, 에서   이다.

     일 때, 이므로   이다.

예제 3.2.2   

(1) 두 함수 와 는 구간 [-1, 1]에서 1차독립임을 보여라.

(2) 두 함수 와 는 구간 [0, 2]에서 1차종속임을 보여라.

풀이

(1) 이라고 하자.   이면 이고    을 대입하면

이므로   을 얻게 된다.

(2) 구간 [0, 2]에서 이므로   이고, 와 는 1차종속이다.

주의   예제 3.2.2에서 보듯이, 구간에 따라 1차종속일 수도 1차독립일 수도 있다.                  

       개의 함수가 적어도 회 미분가능하면 개의 함수들의 1차독립성을 알수 있는 방법을 다음 정리에서

알아보기로 하자.

정리 3.2.1  개의 함수 는 적어도 계 도함수를 갖는다고 가정하자. 행렬식

이 구간   의 적어도 한 점에서   이 아니면 함수   는 그 구간   에서 1차독립이다.

이때, 을 이들 함수의 Wronskian이라 한다.

증명  인 경우에 대해 대우법에 의하여 증명하자. 인 경우도 마찬가지 방법으로 증명할 수 있다.

즉, 와 가 구간 에서 1차종속이라고 가정하자. 이것은 적어도 하나는 이 아닌 상수 과 가

존재해서 의 모든 에 대하여

을 만족한다 뜻이다. 이 일차결합을 미분하면

을 얻는다.   와 가 1차종속이므로 연립방정식

은 그 구간의 모든 에 대해서 이 아닌 해를 갖기 때문에 의 모든   에 대해          

이다.

       위의 정리 3.2.1의 대우를 취하면 아래의 보조정리를 얻을 수 있다.

보조정리 3.2.2   개의 함수 가 적어도   계 도함수를 가지며 구간 에서 1차종속이면

구간 의 모든 에 대하여

이다.

예제 3.2.3    는 임의의 구간에서 1차독립이다.

풀이

       이면   이다.  그러므로 는 임의의 구간에서 1차독립이다.

예제 3.2.4   는 임의의 구간에서 1차독립이다.

풀이

이므로   는 임의의 구간에서 1차독립이다.

                                                         연습문제 1.3.2.1

1. 다음함수들은 에서 1차종속인가? 1차독립인가?

(1)                                                                               (답: 1차독립)

(2)                                                                              (답: 1차독립)

(3)                                                       (답: 1차독립)

(4)                                                                            (답: 1차독립)

(5)                                                              (답: 1차독립)

(6)                                                            (답: 1차종속)

1.3.2.2 선형미분방정식의 일반해

      계 선형 미분방정식의 일반형은

(3.7)                            

와 같다. 여기서   는 만의 함수이거나 상수이다.

(3.7)의 우변   인 미분방정식

(3.8)                           

을 동차선형미분방정식(homogeneous linear differential equation)라 하고   인 식 (3.7)을

비동차선형미분방정식(non-homogeneous linear differential equation)라고 한다. 특히  

이 모두 상수이면 식 (3.8)을 상수계수 동차선형미분방정식이라 한다.   계 선형미분방정식을 취급할 때 어떤

주어진 구간에서 계수   와 우변의 는 연속이고 라고 가정하자.

예제 3.2.5 

(1) 는 2계 동차선형미분방정식이다.

(2) 는 3계 비동차선형미분방정식이다.

     우선 동차선형미분방정식의 일반해의 성질을 살펴보자.

정리 3.2.3  을 어떤 구간  에서 계 동차미분방정식 (3.8)의 해라 하자. 임의의 상수 에 대하여

도 역시 그 구간에서 식 (3.8)의 해이다.

증명

그러므로   도 식 (3.8)의 해이다.

       정리 3.2.3의 상수   이 모두 일때 즉   는 식 (3.8)의 해이므로 동차선형미분방정식은

항상 자명해 을 가진다는 것을 알 수 있다.

예제 3.2.6   와 는 의 해임을 쉽게 알 수 있다. 그러므로 정리 3.2.3에 의하면

도 의 해이다. 

정리 3.2.4   을   계 동차미분방정식 (3.8)의   개의 해라면 이들 해집합이 구간 에서 1차독립이기

위한 필요충분조건은 그 구간 의 모든   에 대하여 인 것이다.

증명   인 경우에 대하여 증명하자. 인 경우에도 확장해서 증명할 수 있다. 정리 3.2.2에 의하면 구간 의

모든 에 대하여 이면   는 1차독립이다.

다음에   가 2계 동차미분방정식의 1차독립인 해라고 가정하자. 구간 의 모든   에 대하여 임을

밝히면 증명은 끝날 것이다.

만약 의 어떤점 가 존재하여 라고 가정하자. 그러면 적어도 하나는 이 아닌 가 존재하여

을 만족한다. 만약    라 두면 을 만족하므로 는 해이다.  

함수 도 미분방정식과 초기조건 을 만족하므로 해이다.  따라서 초기치 문제의 해의 유일성에

의하여   가 되어 가 1차독립이라는 사실에 모순이다. 그러므로 구간 의 모든 에 대하여

이다.

정리 3.2.5   계 동차미분방정식 (3.8)은 항상 개의 1차독립인 해를 가진다.

증명  이 결과는 정리 3.1.1로부터 얻어질 수 있다.

정리 3.2.6   계 동차미분방정식 (3.8)의 일반해는 이 미분방정식의 개의 1차독립인 해   의 1차결합, 즉

(3.9)                                             

이다.

증명    계 동차미분방정식 (3.8)의 1차 독립인 해를   이라 하자.  정리 3.2.4에 의하면  

식 (3.8)의 임의의 해를 라 하면   으로부터         

를 만족하는 상수   이 존재한다.

한편,   라 하면  정리 3.2.3에 의해 도 식 (3.8)의 해이고 식 (3.10)에 의하여

가 성립한다. 따라서 와 는 식 (3.8)의 해이고 같은 초기 조건을 만족하므로 초기치 문제의 해의 유일성에 의하여

성립한다.

      계 동차미분방정식 (3.8)의 1차 독립인 해의 집합을 기본 해집합(fundamental set of solution)이라 하고,

식 (3.9)를   일반해(general solution) 또는 완전해(complete solution)라고 한다.

예제 3.2.7   는   의 1차독립인 해임을 보이고 일반해를 구하라.

풀이  와 가 의 해가 됨은 쉽게 알 수 있다.  또한

이므로 정리 3.2.4에 의하여   는 1차독립이다. 따라서 정리 3.2.6에 의해 일반해는

       이제 비동차 선형미분방정식의 일반해를 알아보기로 하자.

식 (3.7)을 만족하는 임의의 상수를 포함하지 않는 해를 식 (3.7)의 특수해 (particular solution)라고 한다.            

정리 3.2.7  를 동차 선형미분방정식 (3.8)의 일반해, 즉   라 하고

를 비동차선형미분방정식 (3.7)의 특수해라고 하면 식 (3.7)의 일반해는 이다. 즉,

증명  는 계 동차 선형미분방정식 (3.8)의 일반해이고, 는   계 비동차선형미분방정식 (3.7)의 특수해이므로

이다. 따라서

이 되어 도 식 (3.7)의 해이다.

한편 를 식 (3.7)의 임의의 해라고 하자.   라 하면

따라서 는 계 동차 선형미분방정식 (3.8)의 해이므로 적당한 상수   에 대하여

으로 표시할 수 있다. 즉,   그러므로 비동차선형미분방정식의 일반해는

예제 3.2.8  

가   $\;y''+2y'+2y=xe^{-2x}$ -->의 일반해임 을 보여라.

풀이

$e^{-x}\cos x, \; e^{-x}\sin x$ --> 가 $y''+2y'+2y=0 --> 를 만족하고

이므로 1차독립인 해이다.  따라서  

또한 을 만족하므로 는 특수해이다.

따라서 일반해는

                                                                        연습문제 1.3.2.2

1. 는 구간 에서 미분방정식 의 1차독립인 해임을

보이고 주어진 미분방정식의 일반해를 구하라.                             (답: )

2. 가 구간 에서 미분방정식   의 해가 되도록 상수 를 구하라.

                                                                                                               (답: )

3. 이 구간 에서  미분방정식 의 일반해임을 보여라.

1.3.2.3 기지해를 이용한 두 번째 해의 구성

      2계 선형미분방정식의 일반해를 구하려면 2개의 1차독립인 해를 구해야 한다. 만약 1개의 해를 알고

있다면 나머지 1차독립인 해는 어떻게 구할 수 있을까?

2계 동차선형미분방정식의 일반형은

이다. 구간 에서 라고 가정하고 로 양변을 나누면

(3.11)                                               

의 꼴로 나타내어진다. 여기서 와 는 어떤 구간 에서 연속이다.

를 구간 I에서 식 (3.11)의 알려진 해라고 하고 구간 의 모든 에 대하여 이라고 하자.

구하려는 나머지 해를   로 정의하면

이므로

이 성립하고 이므로 가 되어 라 두면

(3.12)                                                               

로 된다. 식 (3.12)는 변수분리형 1계 선형미분방정식이다. 즉,

따라서

이므로

이다. 여기서   라 두면 식 (3.11)의 두번째 해는

(3.13)                                                          

이다. 그리고   과 가 1차독립임을 알아보기 위해 $W(y_1,y_2)$ --> 을 구해보자.

여기서 이다.

그러므로   이므로   는 1차독립이다. 즉, 기지해   을 이용하여 1차독립인 다른 해   를 구하였다.

따라서 일반해는   이다.

   이와 같은 방법을 2계 미분방정식을 1계 미분방정식으로 계수를 낮추었다하여 계수저하법(method of reducion of order)

이라 한다.

예제 3.2.9 함수 는 의 한 해이다. 일반해를 구하라.

풀이     이므로 이다. 그러므로 (3.13)에 대입하면

따라서 일반해는  

예제 3.2.10   함수   는 의 한 해이다.   일반해를 구하라.

풀이  이므로 를 (3.13)에 대입하면

따라서 일반해는 이다.

                                                             연습문제 1.3.2.3

1. 다음의 미분방정식에서 주어진   으로부터 두번째 해   를 구하라.

(1)                                                         (답: )

(2)                                                          (답: -1)

(3)                                                   (답: )

2. 다음 미분방정식의 한 해   을 알고 있다. 일반해를 구하라.

(1)                                          (답: )

(2)                                                                  (답: )

(3)                                                       (답: )