1.2.7 응용

1.2.7.1 직교절선

     하나의 곡선군 의 모든 곡선이 다른 곡선군 의 모든 곡선과 직교할 때 이들 곡선군을

다른 곡선군의 직교절선(orthogonal trajectories)이라 한다. 두 곡선이 직교한다는 것의 의미는 두 곡선이 만나는 점에서

두 곡선의 접선이 서로 직각으로 교차한다는 것이다. 주어진 곡선군이 미분방정식

의 해일 때, 이 곡선군의 직교절선을 구하기 위해서는 미분방정식

을 풀면 될 것이다. 이러한 직교절선은 실생활에서 기상도의 제작, 전기장 및 자기장 연구에 적용되어진다.

예제 2.7.1  원점을 중심으로 갖는 원의 군 의 직교절선을 구하라.            

풀이   의 양변을 미분하면 을 얻는다.

 그러므로 직교절선은 를 만족해야 한다. 위의 1차선형미분방정식의 적분인자는

만약 이면

을 얻게 된다.

 인 경우도 같은 결과를 얻게 된다.

예제 2.7.2    타원군   의 직교절선을 구하라.

풀이                                                       

     의 양변을 미분하면

를 얻게 된다. 그러므로 직교절선의 접선의 기울기   를 얻게 된다. 위 식을 적분하여

직교절선을 구하면

 를 얻게 된다.

1.2.7.2 선형미분방정식의 응용

     초기치 문제

는 생물학, 물리학 및 사회과학 등에서 일어날 수 있는 현상들을 나타낼 수  있다. 예를 들면 생물학에 있어서

박테리아를 비롯한 생물들의 성장 및 감소현상, 물리학에 있어서 방사능 물질의 붕괴현상, 물체의 온도 변화 및

사회과학에 있어서 복리이자의 계산 등이 있다.

     이 절에서는 이러한 현상들의 예를 초기치 문제로 나타내어, 앞 절에서 배운 풀이방법을 적용하여 해를 구하고,

그 해를 분석하여 실제현상을 설명해 보고자 한다.

예제 2.7.3    초기에 배양기에 개의 박테리아가 있다고 하자. 한시간 뒤 즉   일 때,  박테리아의 수가 로

측정되어졌다. 만일 박테리아 성장율이 현재의 박테리아 수에 비레한다면, 이 박테리아의 수가 초기수의 3배로 되는데

필요한 시간을 구하여라.

풀이     위의 설명으로부터 우리는 아래의 초기치 문제를 설명해 볼 수 있다.

위의 방정식을 다음과 같이 변형하면

  를 적분인자로 얻게 된다.      

적분인자   를 양변에 곱하면

을 얻게 된다.  위의 양변을 적분하여 를 양변에 곱하면

를 구할 수 있다. 초기치 조건 를 대입하면 를 얻는다. 그러므로 박테리아의 갯수는

식 를 따르게 된다.

로부터

를 구할 수 있다. 그러므로    

박테리아 수가 초기수의 3배로 되는 시간을 구하기 위하여

로 두면

를 얻을 수 있다.  

      물리학에서 응용되어지는 반감기에 대한 예제를 다음에서 살펴보기로 하자.

      반감기는 어떤 양의 물질이 붕괴 혹은 다른 물질로 변형되어 초기의 주어진 양의 반 즉   만큼 남는데

소요되어지는 시간으로 정의되어진다. 반감기는 방사능 물질의 안정성을 측정하는 측도이기도 하다. 즉 반감기가

길다는 것은 그 물질의 변화속도가 느리다는 것을 의미하므로 그 물질이 안정되다는 것을 의미한다.

     방사능 원소 라듐 Ra-226은 1,700년의 반감기를 가지며 1,700년내에 처음 양의 이 radon이라는 원소 Rn-222로 변형된다.

    일반적으로 잘 알려진 반감기에 대한 예는 우라늄 동위원소 U-238을 들 수 있다. U-238은 45억년의 반감기를 가지고 있다.

45억년내에 U-238의 기존량의 이 납 Pb-206으로 변형된다.

예제 2.7.4   증식로(원자로의 일종)내에서 원소 우라늄 238이 동위원소 plutonium 239로 변형되었다. 20년 후 plutonium의 초기량

의 0.057\%가 붕괴되어졌다. 만약 붕괴속도가 남아있는 plutonium의 양에 비례한다면 이 원소의 반감기를 구하라.

풀이    를 시각 에 대하여 남아있는 plutonium 239의 양이라고 하자             . 그러면 다음의 초기치 문제를 설정할 수 있다.

위 초기치 문제의 해는  

20년후 초기량 의 99.943\%가 남게 되므로,

을 얻게 된다. 위 식을 에 대하여 풀게 되면

그러므로

반감기는 를   에 대하여 풀면 구하여 질 수 있을 것이다.

       뉴턴의 냉각법칙은 냉각체의 온도변화율은 주위온도와 냉각체의 온도차이에 비례한다고 서술하고 있다.

즉 주위의 변치않는 온도가   이면, 뉴턴의 냉각법칙은 아래와 같은 방정식으로 표현될 수 있다.

여기서 는 냉각체의 온도이며 는 비례상수이다.

예제 2.7.5   케이크를 오븐에서 구워내었을 때의 온도가 115 였고, 3분후의 온도가 75 로 내려졌다. 그러면 실내

상온 22 로 케이크의 온도가 내려갈때까지의 시간을 구해보라.

풀이   를 케이크의 온도라고 했을때 뉴턴의 냉각법칙에 의하여 다음과 같은 초기치 문제를 구할 수 있다.

주어진 미분방정식을 아래와 같이 분리미분방정식으로 변형하면

를 얻게 되며, 위 식으로부터

와 를 대입하면,

을 얻는다. 그러므로

를 만족하는 유한값 는 존재하지 않는다. 이론적으로는

     그렇지만 실생활에서는 적당한 시간이 경과한 후에 뜨거운 빵의 온도는 실내온도와 동일하게 되어진다는 것을

경험으로 알 수 있다. 다음 도표를 통하여 약 30분이 경과하면 빵의 온도는 실내온도와 거의 같아짐을 알 수 있다.

        저항 (resistor)과 유도자 (inductor)만을 포함하는 전기 직렬회로에 대한 Kirchhoff 제 2법칙은 유도자를

지나는 전압강하량 과 저항을 지나는 전압강하량 의 합은 그 회로의 인가전압 와 같음을 뜻한다.

따라서 전류 에 대한 선형미분방정식

(2.18)                                                                    

를 얻는다. 여기서 과 은 각각 인덕턴스(inductance)와 저항(resistance)으로 알려진 상수들이다. 전류는

이 회로의 반응(response)이라 불리워진다.

     정전용량(capacitance) 를 가지는 축전기를 지나는 전압강하는 로 주어진다. 여기서 는 축전기의

전하(charge)이다. 그러므로 Kirchhoff 제 2법칙에 의하여

(2.19)                                                                   

를 얻을 수 있다. 전류 와 전하 의 관계는 이므로 선형미분방정식

(2.20)                                                                   

로 된다.

예제 2.7.6    12 volt의 축전기가 인덕턴스   henry, 저항이 10 ohms인 직렬회로에 연결되어져 있다.

초기 전류가 0일 때 전류 를 구하여라.

풀이   식 (2.18)로부터 다음의 초기치 문제를 얻을 수 있다.

위의 방정식의 양변에 2를 곱하여, 적분인수 를 구한다. 따라서

초기치 를 대입하여

을 얻게 된다. 그러므로 전류

를 얻을 수 있다.  

      위의 예제로부터 을 얻게 된다.  즉   는  시간이 흐름에 따라

에 어떤 영향을 미치지 못함을 알 수 있다. 그러므로 전류   는 Ohm의 법칙을 따름을 입증할 수 있다.

    이것을 선형미분방정식 (2.18)에 적용하여 보면, 일반해

(2.21)                                                        

를 구할 수 있다.                                                     

     특히 가 일정하면 식 (2.21)은

(2.22)                                                          

으로 된다.    일 때 둘째 항은 0 으로 접근한다. 이러한 항을 과도항(transient term)이라 하고 첫째 항을 해의

정상 상태항(steady-ststeterm)이라 한다. 그러므로 일정한 시간이 경과한 후 회로의 전류는 Ohm의 법칙 을

따름을 알 수 있다.

                                                                        연습문제 1.2.7

1. 어떤 도시의 인구증가율은 현재의 인구수에 비례한다는 사실이 알려져 있다. 만약 인구수가 15년내에 두 배가 되었다면

현재 인구의 3배로 되는데는 몇 년이 걸리겠는가?                                                                (답: 23.77년, 약 23년 9개월)

2. 1번 문제에서 5년 뒤의 그 도시의 인구가 500,000명이었다면 처음의 인구는 몇 명이었을까? 그리고 10년 후의 인구는 몇

명이 될까?                                                                                                                       (답: 374,577명, 667,421명)

3. 일반적으로 은행에서 이자는 현재 잔금에 비례하여 지급되어진다. 현재 시점 $t --> 에서의 잔금을 $M(t)$ --> 라고 표시하였을 때

잔금의 변화율은 다음 식 으로 나탄내어진다. 여기서 은 이자의 연이율을 뜻한다.

(1) 700,000원의 금액을 연이율 9%로 입금하였을 때 3년 뒤에 얼마의 금액으로 증가하겠는가?    (답: 906,520.3원)

(2) 초기 입금액의 3배로 증액시키기에 필요한 기간은 얼마인지 계산하여 보아라.                     (답: 12.748년, 약 12년 9개월)

4. 납의 방사성 동위원소 Pb-209는 현재의 양에 비례하여 붕괴되어진다. 이 동위원소의 반감기가 3.3시간이다.

현재의 양의 20%만 남게 될 때까지 얼마의 시간이 걸릴까?                                                    (답: 7.7시간)

5. 시각 에 대한 방사성 물질의 양 가 , 일 때 반감기는 임을 증명하라.

6. 저항 200 ohms, 정전용량(capacitance)이 farad 인 R-C 직렬회로에 100 volt 의 기전력이 가해졌다. 일 때

축전기의 전하 와 전류 를 구하여라.                                                                 (답: )

7. 달리던 차의 엔진을 정지시키면 뜨거운 엔진은 식기 시작할 것이다. 뉴턴의 냉각법칙이 성립한다고 가정하고 처음 엔진의

온도가 88 였고 1시간 후 70 가 되었다고 하자. 엔진 주변의 상온이 19 라고 하면 뉴턴의 냉각법칙에 있어서의 비례상수를

구하라. 그리고 30 로 냉각되기까지 필요한 시간을 구하라.                                        (답: )