1.2.5 적분인자

      미분방정식

(2.11)                                            

가 완전미분방정식은 아니나 인 해를 가질 경우가 있다. 예를 들면,

예제 2.3.2의 미분방정식 은,

이므로 완전미분방정식은 아니다. 그러나 예제 2.3.2에서 알 수 있듯이 그 해는

이다. 를 에 관하여 미분하면

이 된다.

(2.11)과 (2.12)식을 비교하면 적당한 에 대하여 다음의 비례식이 성립한다.

(2.13)                                                

(2.11)식의 양변에 를 곱하면

인 완전 미분방정식을 얻게 된다. 이 경우 를 적분인자(Integrating factor) 혹은 적분인수라 한다.

예제 2.5.1    일때 미분방정식 의 적분인자 를 구하라.

풀이 예제 2.3.2로부터 주어진 미분방정식의 해는

이다. 위의 식 (2.13)으로부터

이 된다.

주어진 방정식의 양변에 을 곱하면

이 되고

이므로 주어진 방정식은

을 적분인자로 갖는다.

    예제 2.5.1과는 달리 의 해 가 알려져 있지 않는 경우 적분인자

를 구하는 것은 쉽지 않다.  만일 가 의 적분인자라면

을 얻게 된다. 이 식으로 를 얻는다는 것은 거의 불가능하다.  왜냐하면 위의 식은 에 대한 편미분

를 포함하기 때문이다.

만약 이라 하면

그러므로

만약 이라 하면 유사한 과정을 거쳐

을 얻을 수 있다.

      이것으로부터 우리는 다음 정리를 얻을 수 있다.

정리 2.5.1   미분방정식 에서

(1) 가   만의 함수일 때   는 주어진 미분방정식을 완전미분방정식으로 변형시켜주는 적분인자이다.

(2) 가   만의 함수일 때   는 주어진 미분방정식을 완전미분방정식으로 변형시켜주는 적분인자이다.

예제 2.5.2   미분방정식 의 적 분인자를 구하라.

풀이    이므로

그러므로

를 얻는다.

정리 2.5.1 (1)에 의하여 적분인자   을 구할 수 있다.

예제 2.5.3    미분방정식 의 적분인자를 구하라.

풀이    이므로

그러므로

을 얻는다.

정리 2.5.1 (2)에 의하여 적분인자   을 구할 수 있다.

                                                                연습문제 1.2.5

다음 미분방정식의 적분인자를 구하라.

1.                                                                 (답: )

2.                                             (답: )

3.                                     (답: )

4.                                             (답: )

5.                                (답: )

1.2.6 선형미분방정식

      이 절에서는

(2.14)                                                     

의 일반해를 구하는 방법에 대하여 생각해 보기로 하자.

     특정한 구간 에서 을 만족할 때   를 양변에 나누면

(2.15)                                                             

를 얻게 된다. 여기서       로 정의된다.

     만약 인 상수라면

(2.16)                                                                 

를 얻게 된다. 식 (2.16)의 해를 구하는 과정을 경험적인 방법으로 연구해 보자. 

 좌변을 완전미분으로 변형시키기 위하여 적분인자 를 곱하면 된다는 것을 알게 된다. 즉

이 과정을 일반적인 함수   에 대하여 확장하면 식 (2.15)의 적분인자는    이 될 수 있음을 추측할 수 있을 것이다. 식 (2.15)의 양변에   를 곱하면

(2.17)                                                

예제 2.6.1    다음 미분방정식의 해를 구하여라.

풀이    일때

적분인자   을 양변에 곱하면

을 얻는다. 좌변은 다음과 같이 완전미분으로 변형된다.

양변을 적분하면

을 얻는다. 이를 원 식에 대입하면 일 때도 성립되므로 주어진 방정식의 일반해는 구간 에서

예제 2.6.2    다음 초기치 문제을 풀어라.

풀이    이므로 선형미분방정식의 적분인자는

이다. 이것을 양변에 곱하면

을 얻게된다.

이므로 양변을 적분하면

그러므로

  을 대입하면   를 얻게된다. 그러므로 주어진 초기치 문제의 해는

예제 2.6.3    다음 초기치 문제의 해를 구하라.

풀이    이므로   는 혹은 에서 연속이다. 초기치가 주어진 를 포함하는 구간 에서 해를 구해보자.

적분인자   을 양변에 곱하면

을 얻는다.

로부터

  을 대입하면

을 얻게 된다.

예제 2.6.4    다음 초기치 문제를 만족하는 연속인 함수를 구하라.

단, 여기서

풀이   먼저   인 범위에선

이므로 이 된다.

인 경우를 살펴보자.

이므로, 적분인자 를 양변에 곱하면

이므로   그러므로 에 대하여   를 얻는다.

그러므로 주어진 문제의 해는

                                                            연습문제 1.2.6

1. 다음 미분방정식을 풀어라.

(1)                                                           (답: )

(2)                                                     (답: )

(3)                                               (답:          

(4)                                   (답:  

(5)                               (답: )

2. 다음 초기치 문제를 풀어라.

(1)                                       (답:  

(2)                                        (답:

(3)                                   (답: )

(4)                                    (답: )

(5)                       (답:  

3. 다음 초기치문제를 만족하는 연속인 해를 구하라.

 (1)      

                                         (답:  

(2)             

                                         (답: