Chapter 1 : 미분방정식 (Differential Equations)

$$ 1.1 미분방정식이란 ?

         1.1.1.기본정의와 용어

         1.1.2 미분방정식의 형성과 해

$$ 1.1 미분방정식이란 ?

1.1.1 기본정의와 용어

   미분방정식은 하나 또는 그 이상의 독립변수에 관하여 하나 또는 그 이상의 종속변수의 미분 혹은

도함수를 포함하는 방정식을 뜻한다. 미분방정식은 여러가지 자연현상을 나타낼 수 있으며 미분방정식을

풀이하여 얻어진 해는 자연현상을 예측할 수 있게 해준다. 뿐만 아니라  미분방정식은 자연과학, 공학 및

사회과학의 각 분야에 가장 많이 응용되어지는 수학의 한 분야이기도 하다.   

미분방정식은 변수 와 에 대한 함수   및   의 도함수 사이의 관계식

로 표시되는 상미분방정식과, 또 가 2개 이상의 변수를 가지고 있을 때 각각의 변수에 대한 편도함수를 포함하는

편미분방정식으로 분류된다. 예를 들면

는 상미분방정식이고, 가 와 의 함수일 때,

는 편미분방정식이다. 위에서 정의한 미분방정식에 포함되어진 최고계의 도함수의 계수를 그 미분방정식의 계수

(order of the differential equation)라 하고 최고계의 도함수의 차수를 그 미분방정식의 차수(degree of the

differential equation)라 한다. 예를 들면

는 2계 1차 상미분방정식,

은 1계 2차 편미분방정식이다.

    종속변수 혹은 도함수를 포함한 항이 모두 1차인 미분방정식을 선형(linear)미분방정식, 그리고 선형미분방정식이

아닌 모든 미분방정식은 비선형 (nonlinear)미분방정식으로 구분된다. 즉 선형미분방정식이 되기 위해서는   및 그 도함수가

1차이어야하며 그 계수(coefficient)가 독립변수에만 의존해야 한다. 예를 들면,

은 3계 선형상미분방정식이고

는   항이 2차이므로 2계 비선형상미분방정식으로 구별되어진다.

예제 1.1.1

   미분방정식    의 계수와 차수를 구하고, 선형인지 비선형인지를 판별하여라.

풀이   무리 분수식으로 표현되어진 방정식을 우선 유리화하여 정리하면

이므로 주어진 방정식은 2계 2차 비선형 상미분 방정식이다.

                                                  연습문제 1.1.1    

다음 미분방정식들의 계수 및 차수를 구하고 또한 선형인지 비선형인지를 판별하라.

1.                                              (답 : 1계 1차 선형미분방정식)

2.                                   (답 : 3계 1차 선형미분방정식)

3.                                                (답 : 2계 1차 비선형미분방정식)

4.                                       (답 : 4계 1차 선형미분방정식)

5.                                                      (답 : 2계 3차 비선형미분방정식)

6.                                                (답 : 2계 1차 비선형미분방정식)

1.1.2 미분방정식의 형성과 해

     n계 상미분방정식은

(1.1)                                    

혹은

(1.2)                                    

로 나타내어질 수 있다. 함수 가 어떤 실수 구간 에서 미분방정식 (1.1) 혹은 (1.2)의 해가 된다는 것은

함수 가 실수 구간 에서 정의되고 구간 에서 미분방정식(1.1) 혹은 (1.2)를 항등적으로 만족함을 의미한다.

예제 1.2.1   임의의 상수 에 대하여 는 미분방정식 의 해임을 밝혀라.

풀이     는 원함수와 미분함수가 같음을 의미한다. 그러므로 가 주어진 방정식의 해가 될 것이다. 

예제 1.2.2   

    임의의 상수 에 대하여 함수 는 구간 에서 미분방정식 의 해임을 밝혀라.

풀이  구간 에서,

을 만족하므로, 임의의 상수 에 대하여 는 주어진 방정식의 해가 된다.

      위의 예제에서처럼 미분방정식의 해는 를 포함한다. 일반적으로 미분방정식의 해에 포함되어지는 parameter의

갯수는 미분방정식의 계수와 일치한다.

      위의 예제에서와 같이 parameter를 포함하는 해 를 일반해 (general solution)라 정의하고, 과

같이 위의 parameter에 적당한 상수, 예를 들어 를 대입하여 얻어질 수 있는 해를  특수해(particular solution)라 정의한다.

그러나 와 같이 주어진 방정식의 해이나 일반해에 포함되지 않는 형태의 해를 특이해(singular solution)라 정의한다.

는 우리가 자명하게 구할 수 있는 해이므로 자명해(trivial solution)라고 정의한다.

     위의 예제들을 통하여 주어진 함수가 어떤 특정한 미분방정식의 해가 되는지를 확인할 수 있었다.

                                                      연습문제 1.1.2

1. 다음에 주어진 함수들은 아래 미분방정식의 해임을 밝혀라.

(1)                                                                        (답 : )

(2)                                                                              (답 :   )

(3)                                                                       (답 : )

(4)                                                                       (답 : )

(5)                                                                    (답 : )

2.

(1) 가 미분방정식 의 해가 되도록 의값을 구하여라. (답: )

(2) (1)의 두 해 의 1차 결합 도 의 해임을 보여라.

3.

(1) 가 의 해가 되도록 의 값을 구하라.       (답: )

(2) (1)에서 구한 에 대하여 도 의 해가 됨을 보여라.   

(3) (1), (2)의 두 해 의 1차 결합 도 의 해가 됨을 보여라.